Blockdit Logo (Mobile)
อาจวรงค์ จันทมาศ
•
5 ม.ค. 2019 เวลา 06:48 • วิทยาศาสตร์ & เทคโนโลยี
ภาคตัดกรวยคืออะไร?
กรวย(Cone) คือ รูปทรงเรขาคณิตที่มีหน้าตาเหมือนกันโคนไอศกรีม ซึ่งนักคณิตศาสตร์สนใจมันมาตั้งแต่ยุคกรีกโบราณแล้ว
หากนำกรวย 2 อันที่มีหน้าตาเหมือนกัน หันปลายมาชนกันจนมีหน้าตาคล้ายกันนาฬิกาทราย จากนั้นนำระนาบแบนๆมาตัดจะสามารถสร้างขอบรอยตัดได้ 4 แบบ
1. หากระนาบขนานไปกับฐานกรวย ขอบหน้าตัดจะเป็นรูปวงกลม
2. หากระนาบเอียง แต่ยังไม่เอียงจนตัดไปถึงฐานกรวย ขอบหน้าตัดจะเป็นรูปวงรี
3.หากระนาบเอียงจนตัดฐานกรวยหนึ่ง ขอบหน้าตัดจะเป็นโค้งที่มีชื่อว่า พาราโบลา
4.หากระนาบเอียงจนไปตัดกรวยอีกฟาก ขอบหน้าตัดจะเกิดเป็นโค้งที่มีชื่อว่า ไฮเปอร์โบลา
หลายคนอาจเคยได้ยินหรือเรียนคุณสมบัติที่แตกต่างกันของเส้นโค้งเหล่านี้ แต่อาจไม่รู้ว่าพวกมันมีความเชื่อมโยงกันด้วยขอบหน้าตัดของกรวยคู่ ความเชื่อมโยงนี้เองทำให้นักคณิตศาสตร์เรียก เส้นโค้งทั้งหมดนี้ว่า ภาคตัดกรวย (conic section)
นอกจากนี้ ภาคตัดกรวย ยังเชื่อมโยงผ่านลักษณะของวงโคจรภายใต้กฎแรงโน้มถ่วงของ เซอร์ ไอแซค นิวตัน ด้วย กล่าวคือ แรงโน้มถ่วงจากดวงอาทิตย์นั้นดึงดูดให้วัตถุต่างๆโคจรเป็นเส้นโค้งได้ 4 รูปแบบ *
หากวัตถุถูกกักให้โคจรไปรอบๆดวงอาทิตย์ มันอาจโคจรด้วยวงโคจรรี(ที่ค่อนข้างจะกลม)อย่างดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดวงอาทิตย์** แต่ดาวหางหลายดวง เช่น ดาวหางฮัลเลย์ รวมทั้งวัตถุที่อยู่เลยจากดาวเนปจูนออกไปหลายดวงมีวงโคจรที่เป็นวงรีรอบดวงอาทิตย์อย่างเห็นได้ชัด
อย่างไรก็ตามถ้าวัตถุมีความเร็วสูงมาก มันอาจพุ่งเข้าหาดวงอาทิตย์แล้วพุ่งห่างออกไปโดยไม่กลับมาในระบบสุริยะอีกเลย โดยเส้นทางของมันอาจเป็นพาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลา อย่างดาวหางจำนวนมาก หรือ วัตถุชื่อ อูมัวมัว ที่โคจรจากนอกระบบสุริยะ เข้ามาใกล้ดวงอาทิตย์แล้วห่างออกไปโดยไม่กลับมาอีก
วันนี้จะเล่าเรื่องเส้นโค้งภาคตัดกรวยที่เราคุ้นเคยกันที่สุดนั่นคือ วงกลม (Circle)
วงกลมเป็นโค้งที่เรียบง่าย สร้างได้ง่ายดายด้วยการใช้เพียงแค่วงเวียน ความเรียบง่ายนี้เองทำให้นักคณิตศาสตร์สนใจและหมกมุ่นมากเสียจนมีทฤษฎีบทมากมายมหาศาลที่เกี่ยวข้องกับวงกลม
หนึ่งในปัญหาเกี่ยวกับวงกลมที่เรียบง่ายที่สุด โดยไม่ต้องมีเส้นตรง หรือ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมเข้ามาเกี่ยวข้อง คือ ปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ผู้มีนามว่า อะพอลโลเนียสแห่งเพอร์กา (Apollonius of Perga)
เขาสงสัยว่าหากวาดวงกลมใดๆขึ้นมาสามวงแล้ว เราจะวาดวงกลมที่สี่ให้สัมผัสกับวงกลมสามวงแรกได้กี่แบบ? ปัญหาดังกล่าวมีชื่อว่า ปัญหาของอะพอลโลเนียส (Apollonius's problem) ซึ่งเขาพบว่าคำตอบคือ 8 แบบ
1
คำถามที่พวกเราหลายคนอาจจะรู้สึกว่าคิดไปทำไมนั้นกลายเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์ในยุคต่อมามากมาย หลายคนพยายามพิสูจน์ปัญหานี้โดยใช้วิธีที่ต่างออกไป และ พยายามปรับรูปแบบคำถาม
 
บ้างก็หดขนาดวงกลมลงมาจนเป็นจุด แล้วลองหาคำตอบ หรือไม่ก็ขยายขนาดของวงกลมใหญ่จนกลายเป็นเส้นตรงไปเลย แล้วลองหาคำตอบ (คิดกันไปได้)
บ้างก็ทดลองสร้างวงกลมที่เรียงต่อกันอย่างไร้ที่สิ้นสุด เรียกว่า Apollonian gasket (วงแหวนประเก็นของอะพอลโลเนียส) ด้วยการวาดวงกลมขนาดวงกลมขนาดเท่าๆกันสามวงโดยแต่ละวงจะสัมผัสกับวงข้างๆ จากนั้นวาดวงกลมเล็กๆให้สัมผัสกับวงกลมทั้งสามวงแรก แล้วก็วาดวงกลมเล็กๆให้สัมผัสกับวงกลมสามวงที่มีในรูปแบบนี้ไปเรื่อยๆ ซึ่งเส้นโค้งที่นี้เป็นหนึ่งในเรขาคณิตที่เรียกว่า แฟรคทัล (ซึ่งจะเล่าให้ฟังต่อไปในอนาคต)
1
ความคลั่งในวงกลมยังไม่จบเท่านี้!
เพราะนักคณิตศาสตร์เริ่มถามต่อว่าแล้วถ้าวงกลมสามวงเริ่มต้นไม่ได้มีขนาดเท่ากัน ผลที่สุดท้ายที่ได้จะเป็นอย่างไรและมีลักษณะความสมมาตรอย่างไร หรือถ้าเริ่มต้นจากวงกลมสี่วง หรือเปลี่ยนวงกลมบางวงให้กลายเป็นเส้นตรง ผลลัพธ์ที่ได้จะมีหน้าตาแบบไหน
ต่อมานักคณิตศาสตร์ยุคใหม่พยายามแก้ปัญหานี้ ในมิติที่มากกว่าสอง กล่าวคือ แทนที่จะศึกษาวงกลม ก็ขยายไปสู่คำถามว่า ทรงกลมสามมิติ และยังขยายมิติให้เหนือกว่าทรงกลมสามมิติเป็นทรงกลมที่มีมิติมากขึ้นไปอีก
ปัญหาของอะพอลโลเนียส (Apollonius's problem) น่าจะแสดงให้เห็นถึงความหลงใหลในวงกลมของนักคณิตศาสตร์ได้เป็นอย่างดี
แต่อะพอลโลเนียสแห่งเพอร์กา นั้นไม่ได้สนใจแค่วงกลม เขายังสนใจโค้งอีกชนิดที่แตกต่างจากวงกลม ซึ่งเขาเป็นคนแรกๆที่เรียกมันว่า Ellipse หรือ วงรี
ครั้งหน้าผมจะเล่าเรื่อง วงรี ซึ่งเป็นเส้นโค้งที่น่าสนใจไม่แพ้วงกลมให้ฟังครับ
อ้างอิง
*วงโคจรทั้ง 4 รูปแบบนี้เกิดจากการคำนวณแรงโน้มถ่วงที่ดวงอาทิตย์กระทำกับวัตถุนั้นเพียงอย่างเดียว โดยตัดแรงอื่นๆ เช่น แรงที่ดาวเคราะห์ดึงดูดกันเอง , แรงดันจากแสงอาทิตย์ ฯลฯ ออก
** ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี แต่ค่าความรีนั้นน้อยมากจนดูด้วยตาเปล่าเราสามารถประมาณได้ว่ามันโคจรเป็นรูปวงกลม
โฆษณา