Blockdit Logo (Mobile)
อาจวรงค์ จันทมาศ
•
13 ม.ค. 2020 เวลา 11:10 • วิทยาศาสตร์ & เทคโนโลยี
วิธีสร้าง Mandelbrot set
รูปร่างเรขาคณิตแห่งความไร้ที่สิ้นสุด
#เขียนโปรแกรม
สมมติว่าเราเลือกจำนวนมาสักจำนวนหนึ่งแล้วยกกำลังสองไปเรื่อยๆจะเกิดอะไรขึ้น ?
คำตอบกว้างๆมี 2 อย่าง
1. ถ้าจำนวนนั้นเป็น 4 เมื่อยกกำลังสองไปเรื่อยๆจะได้ 16 , 256 , 65536 , ... ซึ่งเราพบว่ามันจะเพิ่มขึ้นไปอย่างไร้ที่สิ้นสุด
2. แต่ถ้าเราจำนวนที่เราเลือกเป็น 0.5 เมื่อยกกำลังสองไปเรื่อยๆจะได้ 0.25 , 0.0625 , 0.00390625, ... ค่าที่ได้จะเข้าใกล้ศูนย์ ซึ่งไม่เพิ่มอย่างไร้ที่สิ้นสุด
สรุปได้ว่า
- ถ้าจำนวนที่ยกกำลังสองไปเรื่อยๆมีค่ามากกว่า 1 ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นอนันต์
-ถ้าจำนวนที่ยกกำลังสองไปเรื่อยมีค่าตั้งแต่ 0 จนถึง 1 ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่ใช่อนันต์
6
คำถามคือ แล้วถ้าจำนวนที่เราสนใจเป็นจำนวนเชิงซ้อน คำตอบที่ได้จะเป็นอย่างไร?
คำตอบที่ได้จะซับซ้อนกว่านั้น
เราจะพบว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีขนาด(absolute)น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 เมื่อยกกำลังสองไปเรื่อยๆมันจะไม่ได้อนันต์
แต่จำนวนเชิงซ้อนที่มีขนาดมากกว่า 1 เมื่อยกกำลังสองไปเรื่อยๆ มันจะได้อนันต์
เมื่อนักคณิตศาสตร์ใช้วิธีการเขียนจำนวนเชิงซ้อนด้วย โดยให้แกนตั้ง(y)เป็นส่วนจินตภาพและแกนนอน(x)เป็นส่วนจริง เราพบว่าหากจำนวนเชิงซ้อนอยู่ในวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วย มันจะไม่เป็นอนันต์
กล่าวได้ว่า วงกลมคือขอบเขตระหว่างอนันต์ กับ ไม่อนันต์
นั่นเป็นกรณีง่ายที่สุด
แต่เมื่อเราเขียนการยกกำลังสองให้ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยในรูป f(z) = z^2 + c โดยเมื่อ c=0 เราจะได้ขอบเขตเป็นวงกลม
แต่ถ้าเราเปลี่ยนค่า c เป็นจำนวนเชิงซ้อนอื่นๆ ขอบเขตจะเปลี่ยนแปลงไปเป็นรูปร่างแปลกๆซึ่งผู้ที่ศึกษาเรื่องนี้เป็นคนแรกคือ แกสตัน จูเลีย (Gaston Julia) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส
คราวนี้ถ้าเรานำฟังก์ชัน f(z) = z^2 + c มาศึกษา แต่ให้ z เริ่มต้นจาก 0 และ c เป็นจำนวนเชิงซ้อน
เช่น ถ้าให้ค่า c = 2-3i
f (0) = 0^2 + (2-3i) =2-3i
f (2-3i) = (2-3i)^2 + (2-3i) = -3-15i
f (-3-15i) = (-3-15i)^2 + (2-3i) = -214+87i
.
.
.
ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ...
หากผลลัพธ์ปลายทางที่ได้เป็น ไม่เป็นอนันต์ ให้ระบายสีดำ
แต่ถ้าผลลัพธ์ที่ได้เป็นอนันต์ ให้ระบายสีอื่นๆ
เบอนัว แมนแดลโบรต ทำการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ที่ดีที่สุดในยุคนั้น ซึ่งก็ไม่ได้ดีเท่าคอมพิวเตอร์ที่เราใช้งานกันตามบ้านทุกวันนี้ แล้วพบว่า ขอบเขตที่ได้มีหน้าตาไม่สมมาตร แต่มีหน้าตาแปกลๆอย่างในภาพนี้
นี่คือ แฟรกทัลที่มีชื่อว่า Mandelbrot set
หากเราใช้คอมพิวเตอร์ดีๆทำการคำนวณ แล้วดูว่าบริเวณด้านนอกสีดำที่จะให้ผลลัพธ์ปลายทางเป็นอนันต์นั้น จะเข้าสู่อนันต์ช้าเร็วไม่เท่ากัน ความแตกต่างนี้นำมาซึ่งการลงสีที่แตกต่างกันและถ้าเราซูมดูบริเวณต่างๆจะพบว่ารูปแบบที่ได้นั้นซับซ้อนจนน่าตกตะลึง
โฆษณา