รากฐานแห่งคณิตศาสตร์ทั้งปวงคืออะไร ?
หนึ่งในกระบวนการหาความจริงเกี่ยวกับโลกกายภาพที่สำคัญที่สุด คือ วิทยาศาสตร์ (Science) ซึ่งความจริงทางวิทยาศาสตร์นั้นได้ส่งผลลึกซึ้งต่อมนุษย์ชาติมาโดยตลอด
ตั้งแต่การค้นพบว่าโลกมิใช่ศูนย์กลางของเอกภพ จนถึงการค้นพบว่ามนุษย์เรามิใช่ศูนย์กลางแห่งเผ่าพันธุ์ แต่เป็นญาติกับสรรพชีวิตร่วมโลก
ความจริงเหล่านี้ล้วนทำให้มนุษย์เราตระหนักและเปลี่ยนแปลงมุมมองที่มีเกี่ยวกับธรรมชาติจนถึงจิตวิญญาณ
ธรรมชาติของสิ่งมีชีวิต อยู่ในขอบเขตการศึกษาของ ชีววิทยา
นักวิทยาศาสตร์รู้ดีว่าสารเคมีต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น สารสื่อประสาท ฮอร์โมน เอนไซม์ ฯลฯ ล้วนส่งผลต่อสิ่งมีชีวิตได้อย่างหลากหลาย ทั้งในแง่พฤติกรรมจนถึงการเจริญเติบโต
การทำความเข้าใจวิชาเคมี จึงเป็นพื้นฐานสำคัญที่จะนำเราไปสู่ความเข้าใจทางชีววิทยาที่ลึกซึ้งและลึกลงไปกว่าสารเคมี ย่อมเป็นอนุภาคที่ประกอบขึ้นเป็นสสารเหล่านั้น
การทำความเข้าใจอนุภาคและกฎฟิสิกส์ย่อมนำเราเข้าสู่ความเข้าใจอันลึกซึ้งของสารเคมีอีกที
กล่าวได้ว่าฟิสิกส์เป็นเหมือนรากฐานของวิทยาศาสตร์ทุกแขนง และโดยหลักการแล้ว อนุภาคและกฎฟิสิกส์นั้นเป็นสิ่งที่สร้างเอกภพและความจริงทางกายภาพทุกระดับขึ้นมา
ถ้าฟิสิกส์เป็นรากฐานของวิทยาศาสตร์
แล้วสิ่งใดเล่า เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์
ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 โลกของคณิตศาสตร์เริ่มกว้างใหญ่ไพศาล
หัวข้อทางคณิตศาสตร์อันหลากหลายเริ่มตั้งแต่ ทฤษฎีจำนวน พีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ แคลคูลัส สถิติ ฯลฯ ถูกพัฒนาขึ้นจากจุดเริ่มต้นที่แตกต่างกัน
นักคณิตศาสตร์ในยุคนั้นพยายามหันมาตอบคำถามว่า คณิตศาสตร์แขนงใดเล่าเป็นพื้นฐานที่รองรับและสร้างคณิตศาสตร์ส่วนอื่นๆทั้งหมดขึ้นมา ?
นักคณิตศาสตร์สำนักหนึ่งเชื่อว่า โลกคณิตศาสตร์ทั้งหมด (หรือบางส่วน) ถูกสร้างขึ้นจากสิ่งที่พื้นฐานที่เรียกว่า ตรรกศาสตร์ (Logic) ซึ่งแนวคิดดังกล่าวจึงมีชื่อว่า logicism
การแสดงให้เห็นว่าแนวคิดนี้เป็นเรื่องจริงนั้นยากเย็นเพราะนอกจากต้องอาศัยความเชื่อมโยงมหาศาลแล้ว ยังต้องใช้ความรัดกุมในการพิสูจน์มากมาย ซึ่งทั้งหมดนี้เป็นงานที่หนักหนาสุดๆ
หนึ่งในนักคิดผู้พยายามแสดงให้เห็นว่าแนวคิดนี้เป็นจริงคือ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้มีนามว่า เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ (Bertrand Russell) หลายคนอาจไม่เคยได้ยินเชื่อว่าเขา แต่ในวงการคณิตศาสตร์ เขาเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่ง
เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์
เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ พยายามแสดงให้เห็นว่าข้อเท็จจริงและการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนให้อยู่ในรูปทฤษฎีเซต (Set theory) ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของตรรกศาสตร์ได้ ในหนังสือเล่มสำคัญชื่อ Principia Mathematica 3 เล่ม โดยมีผู้เขียนร่วมเป็นนักคณิตศาสตร์ชื่อ อัลเฟรด ไวท์เฮด (Alfred North Whitehead)
นักคณิตศาสตร์จำนวนมากยกย่องว่าหนังสือเล่มนี้เป็นเสาหลักสำคัญต้นหนึ่งแห่งวงการคณิตศาสตร์ และเขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาวรรณกรรมจากผลงานดังกล่าวในปี ค.ศ. 1950 (หนังสือเล่มนี้เขียนไปยาวเกือบสี่ร้อยหน้ากว่าจะพิสูจน์ให้เห็นว่า 1+1 = 2)
ปัจจุบัน แนวคิดนี้เป็นแรงบันดาลใจให้นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อมาได้พัฒนาทฤษฎีเซตและตรรกะจนก้าวหน้าไปไกลมากๆ
การพิสูจน์ว่า 1+1 = 2
นักคณิตศาสตร์อีกสำนักพยายามสร้างโลกคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์ขึ้นจากกฎเรียบง่ายจำนวนน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แนวคิดนี้มีชื่อว่า Formalism ซึ่งหัวหอกตัวตั้งตัวตีคือนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้มีชื่อเสียงอย่างเดวิด ฮิลเบิร์ต (David Hilbert)
เดวิด ฮิลเบิร์ต นั้นอาศัยอยู่ร่วมยุคกับเบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ และ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์
ก่อนที่ไอน์สไตน์จะสร้างทฤษีสัมพัทธภาพทั่วไป ในปี ค.ศ. 1915 ฮิลเบิร์ตเคยเชิญไอน์สไตน์มาบรรยายถ่ายทอดความรู้ด้านนี้ให้ฟัง ซึ่งไอน์สไตน์ก็เดินทางมาบรรยายให้ฟังด้วยความยินดี
ผลปรากฏว่าหลายเดือนหลังจากที่ฟังการบรรยายในครั้งนั้น ฮิลเบิร์ตตีพิมพ์ผลงานที่ใกล้เคียงกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปออกมาได้ไล่เลี่ยกับไอน์สไตน์ แต่ฮิลเบิร์ตก็ยกเครดิตทั้งหมดให้กับไอน์สไตน์ผู้ใคร่ครวญถึงปัญหานี้ก่อนตน
เดวิด ฮิลเบิร์ต
อย่างไรก็ตาม เรื่องนี้แสดงให้เห็นได้ว่าฮิลเบิร์ตนั้นเก่งกาจอย่างไม่ธรรมดา เพราะฟังไอน์สไตน์บรรยายได้ไม่นานก็แตกฉาน
ช่วงต้นทศวรรษที่ 1920s เดวิด ฮิลเบิร์ตประกาศโครงการ Hilbert's program ที่ใฝ่ฝันจะสร้างคณิตศาสตร์อันสมบูรณ์ขึ้นจากกฎเรียบง่าย ซึ่งรากฐานของโครงการนี้ได้ถูกดำเนินการและคิดมาตั้งแต่ช่วงปี ค.ศ. 1900 แล้ว
ทว่าในปี ค.ศ. 1931 เคิร์ท เกอเดิล (Kurt Gödel) นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรียน-ฮังกาเรียน ในวัย25ปี ผู้เป็นสหายของไอน์สไตน์ ตีพิมพ์งานวิจัย incompleteness theorems ที่แสดงให้เห็นว่าสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกันไม่สามารถมีความสมบูรณ์แบบได้ ซึ่งเป็นการดับความฝันของฮิลเบิร์ตลง (หนังสือบางเล่มเล่าว่าฮิลเบิร์ตหัวเสียอย่างหนักหลังจากได้อ่านงานของเกอเดิล)
งานวิจัยในยุคหลังจากฮิลเบิร์ตและเบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ ก็ยังมีความพยายามจะสร้างคณิตศาสตร์ขึ้นจากกฎเรียบง่ายอยู่ แม้ว่าเป้าหมายจะไม่ใช่โลกคณิตศาสตร์ที่ถึงขั้นสมบูรณ์แบบ แต่เป็นโลกคณิตศาสตร์ที่เรารู้จักกันดีให้ได้
เคิร์ท เกอเดิล กับ ไอน์สไตน์
การพยายามมองหารากฐานของคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งคำถามเชิงปรัชญาที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ ซึ่งอีกคำถามที่เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ พยายามหาคำตอบคือคำถามที่ว่า จำนวนคืออะไร?
คำถามนี้ฟังดูง่าย แต่หากคุณลองถามตนเองดูจะรู้ว่ามันยากมาก
ซึ่งผมจะเล่าให้ฟังครั้งหน้าๆครับ
* ปัจจุบัน นักคณิตศาสตร์เชื่อว่า Zermelo–Fraenkel set theory เมื่อรวมกับ First-order logic สามารถสร้างโลกคณิตศาสตร์ที่เรารู้จักได้อย่างครอบคลุมที่สุด
- 39
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
