จำนวนเชิงซ้อน(Complex number)คืออะไร? และมีประโยชน์อย่างไร?
จำนวนใดที่ยกกำลังสองแล้วได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นจำนวนลบ ? หากเราเอาคำถามนี้ไปถาม นักคณิตศาสตร์ช่วงก่อนปี ค.ศ. 1700 พวกเขาจะตอบว่าไม่มี เพราะ จำนวนบวกเมื่อยกกำลังสองย่อมได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นบวก และแน่นอนว่า จำนวนลบเมื่อยกกำลังสองก็ย่อมได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นจำนวนบวกเช่นกัน
ยกตัวอย่างเช่น
2 กำลังสอง ย่อมได้ 4
-2 ยกกำลังสองก็ได้ 4
ไม่มีจำนวนไหนเลยที่ยกกำลังสองแล้วได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น -4
ในสมัยก่อน นักคณิตศาสตร์มองว่าคำถามที่ว่าจำนวนใดยกกำลังสองแล้วได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นจำนวนลบเป็นคำถามที่ไร้สาระ แต่นักคณิตศาสตร์ในยุคต่อมา 'ลอง' คิดว่าถ้าจำนวนปริศนานั้นมีอยู่จะเป็นอย่างไร?
จริงๆแล้วหากย้อนเวลากลับไปให้ไกลนับพันปีก่อน
เราอาจพบว่าเรื่องทำนองนี้เคยเกิดขึ้นมาแล้ว
จำนวนที่ปรากฏอยู่ในธรรมชาติและชีวิตประจำวันที่ชัดเจนที่สุดคือ จำนวนนับ ที่เริ่มจาก 1,2,3, ...
แต่มนุษย์เราเริ่มขยายแนวคิดของจำนวน เมื่อเรานำจำนวนนับที่มีค่าน้อยมาลบจำนวนที่มีค่ามาก
เช่น 3-10 = -7 ผลลัพธ์ที่ได้กลายเป็นจำนวนติดลบ ซึ่งถ้าเขียนในระบบจำนวนมันย่อมอยู่หลังเลข 0 ลงไป
หนังสือคณิตศาสตร์จีนที่มีจำนวนลบปรากฎขึ้นครั้ง
แนวคิดเรื่องจำนวนลบก็ปรากฏขึ้นครั้งแรกในหนังสือ คณิตศาสตร์เก่แก่ยุคราชวงศ์ฮั่นของจีนราว 200 ปีก่อน คริสตกาล(The Nine Chapters on the Mathematical Art) แต่นักคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณมากๆมองว่าจำนวนติดลบนั้นไม่มีอยู่จริง
ทุกวันนี้ จำนวนติดลบปรากฏให้เห็นในหลายสิ่งหลายอย่าง ตั้งแต่อุณหภูมิ ประจุของอิเล็กตรอน ไปจนถึงตัวเลขหนี้สิน (เศร้านะ)
ดังนั้น คำถามที่ว่าจำนวนอะไร ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนลบ อาจจะพานักคณิตศาสตร์เข้าสู่ดินแดนใหม่ก็ได้
นักคณิตศาสตร์ผู้มีนามว่า เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) เป็นหนึ่งผู้บุกเบิกดินแดนดังกล่าว เขากำหนดให้จำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ -1 ว่า i (ซึ่งหมายถึง imaginary) ซึ่งนักคณิตศาสตร์ใช้กันมาจนถึงทุกวันนี้
ปัญหาต่อมาคือ ในเมื่อมันเป็นจำนวนชนิดใหม่แล้วเราจะเขียนมันบนเส้นจำนวนอย่างไร?
ในเมื่อมันไม่ใช่จำนวนบวก ไม่ใช่จำนวนลบ และไม่ใช่ศูนย์
คำตอบของนักคณิตศาสตร์คือ สร้างแกนตั้งฉากไปกับจำนวนที่เรารู้จัก โดยแกนตั้งที่ถูกสร้างขึ้นใหม่นี้เรียกว่า แกนจินตภาพ ส่วนแกนนอนของตัวเลขที่เรารู้จักดี คือ แกนจำนวนจริง
สิ่งที่เกิดตามมาคือ จำนวนที่อยู่ในระนาบ ที่เกิดจากส่วนจริง มารวมกับส่วนจินตภาพ ซึ่งนักคณิตศาสตร์เรียกมันว่าจำนวนเชิงซ้อน (Complex number)
ยกตัวอย่างเช่น จุดที่ออกมาทางแกนจริง a หน่วย แกนจินตภาพ b หน่วย หมายถึงจำนวนเชิงซ้อน a+bi
การถือกำเนิดของจำนวนเชิงซ้อนกลายเป็นสิ่งที่ส่งผลสั่นสะเทือนโลกคณิตศาสตร์เพราะมันเข้ามาเติมเต็มพื้นที่ที่ยังไม่เคยได้รับการสำรวจมาก่อน
สิ่งที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งคือ มันก่อให้เกิด Fundamental theorem of algebra ทฤษฎีบทนี้แถลงเกี่ยวกับคำตอบของสมการพหุนามซึ่งเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน
ผลลัพธ์อีกอย่างที่ตามมาคือการประยุกต์ใช้ซึ่งเข้าใจได้ไม่ยาก
สมมติว่าเราเขียนจำนวนจริงสักจำนวน เช่น 2
ถ้าลองเขียนตำแหน่งในระนาบเชิงซ้อนจะเห็นว่าเลข 2 อยู่ บนแกนนอนด้านบวก
- จากนั้นคูณด้วย i เราจะได้ 2i
ซึ่ง 2i อยู่บนแกนตั้งด้านบวก
- คูณด้วย i อีกครั้งจะได้ -2 (เพราะ i ยกกำลังสองได้ -1)
ซึ่ง -2 อยู่บนแกนนอนด้านลบ
เราจะเห็นได้ว่าการคูณด้วย i ไปเรื่อยๆจะทำให้จำนวนหมุนทวนเข็มนาฬิกาครั้งละ 90 องศา
คุณสมบัติอันเรียบง่ายและสะดวกนี้ถูกนำไปใช้เป็นเครื่องมือสำหรับการอธิบายระบบในธรรมชาติได้หลายอย่าง เช่น คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่ระนาบคลื่นมีการหมุน ระบบการสั่นแบบถูกหน่วง (damped oscillator)
ระบบไฟฟ้ากระแสสลับซึ่งค่ากระแสไฟฟ้ามีการแกว่งไปมา ฯลฯ
คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบ circular polarization
จำนวนเชิงซ้อนยังถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์อีกมากมายเพราะในหลายๆสถานการณ์ เพราะการวิเคราะห์ในรูปของจำนวนเชิงซ้อนง่ายกว่าการวิเคราะห์ในรูปฟังก์ชันที่มีแต่จำนวนจริงซึ่งมักถูกแสดงในรูปตรีโกณมิติ
อย่างไรก็ตาม จำนวนเชิงซ้อนจะปรากฏขึ้นในสมการสำคัญๆมากมายทางฟิสิกส์ เช่น สมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger equation) ในกลศาสตร์ควอนตัม หลังจากเราทำการวิเคราะห์คำนวณสิ่งต่างๆจนเสร็จแล้ว จะต้องทำการทำให้ส่วนจินตภาพหายไป จนเหลือแต่ค่าที่เป็นจำนวนจริงที่ใช้ในการอธิบายธรรมชาติหรือปริมาณที่เราวัดค่าได้นั่นเอง
กล่าวได้ว่า จำนวนเชิงซ้อนกลายเป็นเครื่องมือสำคัญที่ใช้ในการอธิบายเอกภพและช่วยในการคำนวณไม่แพ้จำนวนใดๆที่มนุษย์เราเคยค้นพบมา
- 41
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
