ความโหดสัสและฮาร์ดคอร์ของ "เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ "
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ผู้มีผลงานด้านคณิตศาสตร์มากที่สุดในโลก บิดาแห่ง"จำนวนจินตภาพ"และความยากเย็นแสนเข็ญของคณิตศาสตร์ยุคใหม่ทั้งปวง
ตอน ม.4 เราได้เรียนเรื่องจำนวนจริงมาแล้ว โดยจำนวนจริง ก็คือ จำนวนที่มีอยู่จริง บนเส้นจำนวนในเรื่องนี้ เราจะรู้จักจำนวนอีกประเภท เรียกว่า “จำนวนจินตภาพ” ซึ่งเป็นจำนวนที่ “ไม่มีอยู่จริง” แต่เรา “สมมติให้มันมี”โดยเรื่องนี้ จะสมมุติว่ามีจำนวนที่เรียกว่า i ซึ่งมีสมบัติว่า i^2=−1 (หนังสือบางเล่ม อาจกล่าวว่า i =√−1ก็ได้)เราเรียกชื่อของ i แบบเป็นทางการว่า “หน่วยจินตภาพ” และจำนวนจินภาพต่างๆมีที่มายังไง
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ค.ศ. 1707 – 1783) เป็นนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวสวิส ผู้ซึ่งมีผลงานการคิดค้นที่สำคัญทางคณิตศาสตร์ในหลายสาขา เช่น แคลคูลัสและทฤษฎีกราฟ และยังเป็นผู้ริเริ่มพัฒนาในอีกหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ได้แก่ โทโปโลยีและทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ เป็นต้น เป็นคนแรกที่นำแคลคูลัสเข้าไปประยุกต์ในวิชาฟิสิกส์ และเป็นคนแรกที่ใช้คำว่า “ฟังก์ชัน” ในการบรรยายถึงความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร เช่น y = f(x) รวมทั้งยังเป็นผู้คิดค้นสัญลักษณ์สำคัญในทางคณิตศาสตร์อีกหลายอย่างซึ่งยังคงใช้จนถึงปัจจุบัน นอกจากนี้เขายังมีผลงานด้านฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ ตรรกศาสตร์และดนตรีอีกด้วย
ออยเลอร์ ผู้มีความสามารถที่อาจเรียกได้ว่าอัจฉริยะบุคคล เป็นชาวสวิสเซอร์แลนด์โดยกำเนิด เกิดและโตอยู่ที่เมืองบาเซิล ออยเลอร์สามารถเรียนจบระดับปริญญาตรีในวัยเพียง 16 ปี และปริญญาโทในวัยช่วง 18-19 ปี และยังได้รับปริญญาโทถึง 2 ใบด้วยกัน
ชีวิตการทำงานของออยเลอร์ เริ่มต้นจากการทำงานจนได้เป็นอาจารย์สอนอยู่ในสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งรัสเซียอยู่ที่ St. Petersburg Academy of Sciences (เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก) ซึ่งจริง ๆ แล้วเขาต้องการเป็นอาจารย์สอนในระดับมหาวิทยาลัยมากกว่า แต่ด้วยวัยวุฒิในขณะนั้น เขาถูกพิจารณาว่ายังเด็กเกินไปสำหรับการเป็นอาจารย์สอนในระดับมหาวิทยาลัย
ถึงแม้ว่าที่นี่จะเป็นที่เริ่มต้นที่ยังไม่ใช่เป้าหมายที่เขาอยากทำสักเท่าไหร่นัก แต่ออยเลอร์ก็ประสบความสำเร็จทางด้านการงานจากที่นี่เป็นอย่างมาก โดยต่อมาได้เป็นศาสตราจารย์คณิตศาสตร์และฟิสิกส์ และยังได้รับตำแหน่งหัวหน้าแผนกภูมิศาสตร์อีกด้วย ช่วงเวลาต่อมาก็ได้ดำรงตำแหน่งเป็นผู้อำนวยการที่ Prussian Academy ณ เบอร์ลิน ตามลำดับ
ด้านผลงานของออยเลอร์นั้น ตามที่กล่าวไปข้างต้นว่าเป็นนักคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ผู้มีผลงานเป็นจำนวนมาก มีงานเขียนมากมาย นับได้ถึง 30,000 หน้า นับเป็นหนังสือได้ 75 เล่ม ในหลาย ๆ ผลงาน เนื้อหาครอบคลุมหลักการทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ได้แก่ แคลคูลัส, เรขาคณิต, ตรีโกณมิติ, พีชคณิต ,ทฤษฎีกราฟ, โทโปโลยี, ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ เป็นต้น
หากจะพูดถึงคำว่า ฟังก์ชัน เขาเป็นบุคคลเริ่มแรกที่ใช้คำนี้ในวงการด้านคณิตศาสตร์ โดยเป็นผู้เสนอความคิดรวบยอดเกี่ยวกับการใช้ฟังก์ชัน โดยมีการใช้สัญญาลักษณ์ f(x) ขึ้นเป็นครั้งแรก หรือที่รู้จักกันดีคือ y = F(x)
ออยเลอร์ยังเป็นผู้นำเสนอเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์มากมาย ที่มีความสำคัญและยังใช้อยู่มาจนถึงปัจจุบัน ตัวอย่างที่สำคัญได้แก่
การใช้ e แทนฐานของลอการิทึมธรรมชาติ
การใช้ Σ (ซิกมา) แทนสัญกรณ์ผลรวมจากการบวกของเซตจำนวน
การใช้อักษร i แทนหน่วยจินตภาพ
การใช้ π ที่แสดงถึงอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมใด ๆ
ทั้งนี้ ชื่อของเขาก็ยังได้รับการยกย่องให้เป็นชื่อของจำนวน 2 จำนวนด้วยกันคือ จำนวนของออยเลอร์ (e) ซึ่งมีค่าประมาณ 2.71828 และ ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี (γ) มีค่าประมาณ 0.57721
นอกจากนี้หลายคนอาจจะคุ้นชื่อกันดีกับ แผนภาพออยเลอร์ (Euler diagram) แผนภาพที่ใช้ในการอธิบายความสัมพันธ์ของเซตต่าง ๆ
ในด้านทฤษฎีกราฟ ออยเลอร์ได้ให้ทฤษฎีที่เกี่ยวกับการแก้ปัญหาที่มีชื่อว่า “ปัญหาสะพานเคอนิกส์เบิร์ก” (Konigberg Bridge Problem) เป็นปัญหาที่กล่าวถึงสะพาน 7 สะพานในเมืองเคอนิกส์เบิรก์ ซึ่งสะพานเหล่านี้ใช้เกาะสองเกาะและแผ่นดินปัญหานี้ไว้ ปัญหาของสะพานนี้กล่าวคือ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเดินให้ครบทุกสะพาน โดยผ่านแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวและกลับมาที่จุดเริ่มต้นได้ ซึ่งออยเลอร์ ได้พิสูจน์ว่าไม่มีทางเป็นไปได้ จากปัญหานี้จึงได้มีชื่อในวงการกล่าวไว้ว่า กราฟที่มีวงจรออยเลอร์ หรือเรียกว่ากราฟออยเลอร์ (Eulerian graph)
ผลงานเด่น :
- คนแรกที่ใช้คำว่า “ฟังก์ชัน” ในการบรรยายถึงความสัมพันธ์ ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร เช่น y = F(x)
- คนแรกที่ประยุกต์แคลคูลัสเข้าไปยังวิชาฟิสิกส์
- ผู้ค้นคิดสัญลักษณ์ดังต่อไปนี้คือ f(x) , e , å , i(จำนวนจินตภาพ) ,p
- ผู้ริเริ่มวิชาทอพอโลยีโดยแก้ปัญหาสะพานเมือง Konigsberg
– ริเริ่มวิชาโทโปโลยีและทฤษฎีกราฟ
– คิดค้นทฤษฏีจำนวนเชิงวิเคราะห์
– เป็นคนแรกที่ประยุกต์แคลคูลัสเข้าไปยังวิชาฟิสิกส์
– เป็นคนแรกที่ใช้ฟังก์ชัน f(x) บรรยายถึงความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร
– คิดค้นและริเริ่มใช้สัญลักษณ์สำคัญทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ e แทนลอการิทึมธรรมชาติ, Σ แทนผลรวม, i แทนหน่วยจินตภาพ และยังเป็นผู้นำสัญลักษณ์ π (pi) มาใช้แทนอัตราส่วนเส้นรอบวงต่อเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมจนได้รับความนิยม
- เขียนตำราแคลคูลัส (1755, 1768 - 74) ซึ่งเป็นตำราที่ใช้เป็นต้นแบบของ
ตำราแคลคูลัสเล่มอื่นๆ ในสมัยต่อมา
- คิดทฤษฎีบท Euler's theorem และ Euler - function
- แนะนำ beta และ gamma function ในวิชา Advanced Calculus
- ใช้ integrating factor ในการแก้สมการดิฟเฟอเรนเชียล
- เขียนตำราชื่อ Introduction in Analysis Infinitorum (1748) ผลงานส่วนใหญ๋เกี่ยวข้องกับอนุกรมอนันต์ และเรขาคณิตวิเคราะห์ จุดเด่น คือ การพัฒนาตรีโกณมิติโดยใช้วิธีของแคลคูลัส ทำให้ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของ Analysis แทนที่จะเป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิต
เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (Euler’s identity) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสูตรออยเลอร์ (Euler’s formula) เป็นสูตรคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นมากเนื่องจากใช้ทั้งเครื่องหมายบวก คูณ ยกกำลัง และเท่ากับเพียงครั้งเดียว และยังใช้ค่าคงที่สำคัญถึง 5 ตัวคือ 0, 1, e, i และ π ได้รับการโหวตให้เป็น “สูตรคณิตศาสตร์ที่งดงามที่สุดเท่าที่เคยมีมา” เมื่อปี 1988
ในช่วงปลายของชีวิต ออยเลอร์สูญเสียการมองเห็นและตาบอดสนิทตลอด 17 ปีสุดท้ายในชีวิตของเขา แต่อย่างไรก็ตาม การสูญเสียการมองเห็นของเขาได้สร้างความมหัศจรรย์ด้วยความอัจฉริยะในทักษะการคำนวณในใจที่ยอดเยี่ยมและความจำอันเป็นเลิศที่หาใครทำได้ จึงนับได้ว่าออยเลอร์เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีความสำคัญและน่านับถือเป็นตัวอย่างเป็นอย่างยิ่ง
การพิสูจน์ คุณสมบัติว่า i^2=−1 เป็นจริง ถูกพิสูจน์โดยSir William R. Hamilton
โดย จำนวนเชิงซ้อนเป็นแนวคิดที่น่าพิศวงและแปลกประหลาด และใช้เวลานานกว่าจะเป็นที่ยอมรับแม้ในแวดวงวิชาการ ซึ่งไม่น่าประหลาดใจเพราะแนวคิดที่นำ i = sqrt(-1) มาใช้เป็นเรื่องน่ากังขา ว่ารู้ได้ยังไงว่าการสมมติให้ i มีอยู่จริงจะไม่นำไปสู่ข้อขัดแย้งแปลกๆ
ในปี 1834 Sir William R. Hamilton ได้ตีพิมพ์ paper หนึ่งที่นับเป็นก้าวสำคัญของการทำให้จำนวนเฉพาะเป็นที่ยอมรับในแวดวงวิชาการ http://www.maths.soton.ac.uk/EMIS/classics/Hamilton/BARep34B.pdf
ไอเดียของ Hamilton คือการไม่มองว่า i เป็นเลขวิเศษตัวนึงที่มีสมบัติมหัศจรรย์ว่า i2 = -1 แต่เป็นเพียงจุดๆนึงบนระนาบ R2 และได้กำหนดกฎการบวกและการคูณบน R2 ดังนี้
สมมติให้ (a, b) และ (c, d) เป็นจุด 2 จุดใดๆใน R2 นิยามให้
1. (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
2. (a, b) x (c, d) = (ac-bd, ad+bc)
จะเห็นได้ไม่ยากว่าบนแกน x (ค่า y=0) เราจะได้ว่า
(a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0) และ
(a, 0) x (b, 0) = (ab, 0)
ดังนั้นการกำหนด a = (a, 0) ยังคงสภาพการบวกและการคูณปกติเอาไว้ โดยที่ 1 = (1, 0) แต่จะเห็นว่าในระบบนี้
(0, 1) x (0, 1) = (-1, 0)
ตามกฎข้อ 2. ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการเพิ่มมิติจากเส้นจำนวน 1 มิติไปเป็นระนาบทำให้เราสามารถแก้สมการ x2 = -1 ได้ โดยที่หนึ่งในคำตอบที่เป็นไปได้คือ (0, 1) ซึ่งเราตั้งชื่อมันว่า i
อย่างไรก็ดี อีกคำตอบที่เป็นไปได้ของ x2 = -1 คือ (0, -1) ทั้งนี้เนื่องจากเราตั้งให้ i = (0, 1) ไปแล้วจึงทำให้ (0, -1) = -(0, 1) = -i
จากที่กล่าวมา ก็ทำให้ได้ว่าจุด (a, b) ใดๆ เขียนได้เป็น
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi
จึงเกิดมาเป็นระนาบเชิงซ้อน (Complex Plane) C = R2 ด้วยประการนี้
กลับมายังปัญหาเรื่อง square root(s) กันต่อ เราสามารถแสดงได้ไม่ยากว่าถ้า c เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ (จะเป็นจำนวนจริงเฉยๆ จินตภาพอย่างเดียว หรือผสมก็ได้) จำนวนเชิงซ้อน z ที่ทำให้สมการ z2 = c จะมีสองตัวเสมอ โดยที่ถ้า a เป็นคำตอบแล้ว -a ก็ย่อมเป็นด้วย
ในกรณีของจขกท.ก็คือสมการ z2 = 1 มีสองคำตอบคือ i กับ -i กล่าวอีกอย่างนึงก็คือ รากที่สองของ -1 มีสองตัว คือ i และ -i
อย่างไรก็ดี สัญลักษณ์ sqrt(z) ไม่ได้หมายถึงทั้งสองรากนั้น แต่หมายถึงแค่ตัวเดียวคือ principal square root ของ z
นิยามของ principal square root รากที่เมื่อมองในระนาบเชิงซ้อนแล้ว ทำมุม A อยู่ที่ -90o< A <= 90o กับแกน x
เนื่องจาก i ทำมุม 90o แต่ -i ทำมุม -90o แสดงว่าโดยนิยามแล้ว principal square root ของ -1 คือ i หรือก็คือ sqrt(-1) = i
สรุปนะครับ จำนวนใดๆก็ตามมีรากที่สอง(square roots) อยู่สองตัว แต่มี principal square root ตัวเดียว และ sqrt(z) เป็นสัญลักษณ์แทน principal square root ตัวนั้น และเป็นไปได้ว่า sqrt(x2) อาจไม่เท่ากับ x อาจเท่ากับ -x แทน เช่น
sqrt((-i)2) = sqrt(-1) = i
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
