หากพูดถึงเทคนิคการแก้ปัญหากลศาสตร์ควอนตัมที่เรียกว่า การอินทีเกรทตามวิถี (path integral) จริงๆแล้วชื่อที่ใช้ๆกันคือ การอินทีเกรทตามวิถี ของฟายน์แมน (Feynman path integral) ย่อมทำให้ทุกคนคิดถึงฟายน์แมนนักฟิสิกส์ชาวอเมริกันผู้โด่งดัง แต่ความเป็นจริงแล้วฟายน์แมนนั้นพัฒนาแนวคิดต่อยอดมาจากฮีโร่ของเขานั้นก็คือ ดิแรก
ก่อนไปต่อขอกล่าวภาพร่วมของกระบวนการแก้ปัญหาในฟิสิกส์
สำหรับในกลศาสตร์คลาสสิคเรามองได้ว่า มือหนึ่งเรามีกลศาสตร์ฮามิลตัน อีกมือหนึ่งเรามีกลศาสตร์ลากรองจ์ ทั้ง 2 ทางนั้นนำไปสู้คำตอบที่อธิบายฟิสิกส์แบบเดียวกัน แต่ทั้ง 2 นั้นมีข้อดีข้อเสียต่างกัน หากเราเลือกทำงานกับฮามิลโตเนียน เราก็จะต้องแก้สมการอนุพันธ์อันดับ 1 จำนวน 2n สมการ โดย n คือจำนวน degrees of freedom ของระบบ ซึ่งคำตอบชุดเจ้าสมการเหล่านี้ก็จะอธิบายความเป็นไปของระบบบนปริภูมิเฟส (phase space) ที่มีมิติ 2n หากเราเลือกที่จะทำงานกับลากรางเจียน เราก็ต้องไปดีลกับฟังก์ชันนัลที่เรียกว่า แอคชัน ซึ่งเท่ากับการอินทีเกรทของลากรางเจียนเทียบกับเวลา ปริภูมิที่เราสนใจตอนนี้คือ configuration space ที่มีมิติ n หากเราตั้งคำถามว่า จากจุดเริ่มต้น ณ เวลา t ระบบจะเลือกเส้นทางไหนไปยังจุดสุดท้าย ณ เวลา t'>t หากเราพิจารณาแล้วมันมีอนันต์เส้นทางที่เป็นไปได้ที่ระบบจะวิวัฒน์ไป แต่ในความเป็นจริงแล้วระบบจะเลือกวิวัฒน์ไปแค่เส้นทางเดียว ซึ่งเรียกว่า เส้นทางคลาสสิก (classical path) โดยเป็นที่ทางที่ค่าแอคชันนั้นมีค่าสุดขีด (extremum) หลักการนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อ Least action principle
สำหรับกลศาสตร์ควอนตัมนั้น หากเราเริ่มที่โปรโมทฮามิลโตเนียนเป็นตัวดำเนินการ เราก็จะมีสมการ ที่เรียกว่า สมการคลื่นของชโรดิงเงอร์ สิ่งที่เราต้องการแก้คือ ฟังกชันคลื่น ผ่านสมการอนุพันธ์ หรือ เราอาจจะเลือกวิธีการแก้ปัญหาผ่านกลศาสตร์เมทริกของไฮเซนเบิร์กก็ได้ โดยหลักการคือ การหาสถานะไอเกนและค่าไอเกนที่สอดคล้องกับตัวดำเนินการฮามิลโตเนียน จริงๆเรามองได้ว่าตามแนวความคิดของชโรดิงเงอร์นั้นสถานะเปลี่ยนไปตามเวลา(ตัวดำเนินการนั้นไม่เปลี่ยน) เรียกว่า Schordinger picture ในทางกลับกันสำหรับแนวความคิดของไฮเซนเบิร์กนั้นตัวดำเนินการเปลี่ยนไปตามเวลา(สถานะนั้นไม่เปลี่ยน) เรียกว่า Heisenberg picture อย่างไรก็ดีทั้ง 2 วิธีนั้นสมมูลกัน ความน่าสนใจคือ เรามีกรณีที่ทั้งสถานะและตัวดำเนินการเปลี่ยนไปเนื่องจากระบบมีอัตรกิริยา เรียกว่า Interaction picture หรือ Dirac picture
เอาละครับ เราจะเห็นได้ว่าสำหรับการแก้ปัญหาในกลศาสตร์ควอนตัมนั้นเราทำผ่านฮามิลโตเนียนเป็นหลัก มันก็น่าคิดว่า เออ หากเราต้องการแก้ปัญหาผ่านลากรางเจียนละ ดิแรก เป็นคนแรก(เท่าที่ผมเข้าใจ) ที่พยายามสร้างแนวทางแก้ปัญหา สิ่งที่เขาได้คิด Prob amplitude นั้นแปรผันตรงกับ exponential ของแอคชัน แต่เขาก็ไปไม่สุดหรือพูดง่ายๆ คือ เขาไม่สามารถสร้างรูปแบบทั่วไปของ Prob amplitude หรือ propagator ได้ ส่วนคนที่เข้ามาทำให้มันเป็นจริงก็คือ ฟายน์แมน และสิ่งที่ฟายน์แมนเจอคือ สำหรับอนุภาคควอนตัม(พูดง่ายๆ)จะใช่เส้นทางทุกเส้นทางที่เป็นไปได้เคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้น ณ เวลา t ไปยังจุดสุดท้าย ณ เวลา t'>t โดยแต่ละเส้นทางจะมีค่านำ้หนักไม่เท่ากันแปรผันกับ exponential ของแอคชันของเส้นทางนั้นๆ ตรงนี้หลายคนอ่านแล้วคงรู้สึกว่ามันฟังดูประหลาดมากๆ ครับแน่นอนมันประหลาดขัดความรู้สึกเสียนี้กระไร มันเป็นของมันเช่นนั้นแลความประหลาดในโลกควอนตัม อย่างไรก็ดีหนึ่งในเส้นทางทั้งหมดที่เป็นไปได้ก็มีเส้นทางคลาสสิกอยู่ด้วย หากเราพิจารณาลิมิตที่ \hbar --->0 เราค้นพบว่าเส้นทางที่ให้ Prob amplitude สูงสุดคือ เส้นทางคลาสสิกนั้นเอง (ตรงนี้มองง่ายๆ เมื่อเรากลับมาสู้โลกปกติ ความประหลาดก็จะหายไป หายไปไหน!) ตัวอย่างที่ดีในการทำความเข้าใจแนวคิดคือ การทดลองช่องคู่ของอิเล็กตรอนเดี่ยวซึ่งเป็นการทดลองที่แอดว่าโครตสำคัญและมหัศจรรย์มากๆ(มีหลายแนวคิดที่ประหลาดๆอธิบายผ่านการทดลองนี้ได้)
ปัจจุบันเทคนิคการแก้ปัญหาผ่านมุมมองของฟายน์แมนนั้นเป็นที่นิยมมากๆ เพราะมันทำให้การศึกษาทฤษฎีสนามควอนตัมจากแนวทางฮามิลโตเนียน(ยุ่งยาก เห็นเขาว่ากัน)เปลี่ยนไปเป็นมุมมองผ่านลากรางเจียน สิ่งที่เราต้องการคำนวณคือ propagator ซึ่งเขียนออกมาได้เป็นผลบวกทุกรูปแบบของแผนภาพของฟายน์แมน (Feynman diagram) ที่อนุภาคจะวิวัฒน์ไปผ่านอัตรกริยากับตัวเองหรือกับอนุภาคอื่นๆ (อนุภาคตอนนี้คือ สถานะกระตุ้นของสนาม)
สำหรับน้องนักฟิสิกส์แอดแนะนำว่าควรศึกษาเป็นอย่างมากครับ แนวทางการแก้ปัญหาของฟายน์แมนเพราะมันจะทำให้เราทำอะไรได้มากขึ้นเยอะเลยครับ
ภาพด้านล่างเป็นการพบกันของฟายน์และดิแรก ซึ่งมีเรื่องราวน่าสนใจในบทสนทนาระหว่างทั้ง 2 แอดแนะนำให้อ่านได้ที่นี้เลยครับ
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2025 Blockdit
