เมื่อเปิดหนังสือเรียน ม.4 หัวข้อตรรกศาสตร์ คุณอาจงุนงงกับเครื่องหมายหน้าตาประหลาดที่ไม่ใช่บวกลบคูณหารอยู่มากมาย โพสต์นี้จะทำให้คุณเข้าใจว่า เครื่องหมายพวกนั้นสื่อถึงอะไรกันแน่
โพสต์ที่แล้ว เราได้แนะนำให้คุณรู้จักกับประพจน์เชิงเดี่ยวและเชิงประกอบ โพสต์นี้เราจะโฟกัสที่ประพจน์เชิงประกอบเป็นหลัก
ประพจน์เชิงประกอบเกิดจากประพจน์เชิงเดี่ยวมีปฏิสัมพันธ์กับตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ (logical connective) หรือเรียกอีกอย่างว่า ตัวเชื่อมประพจน์ (propositional connective)
ตัวเชื่อมประพจน์ก็คือคำสันธานในภาษาไทยนั่นแหละ เช่น และ(and) หรือ(or) ถ้า(if) แล้ว(then) ฯลฯ และคำคุณศัพท์/วิเศษณ์คำหนึ่งคือ ไม่(not) อันนี้เรามีชื่อเรียกให้เค้าต่างหากว่า "นิเสธ"
ถ้าคุณนำเหตุการณ์(ที่เป็นประพจน์)มาเติม "ไม่" หรือไปเชื่อมกับเหตุการณ์อื่นด้วยคำสันธาน ทั้งก้อนประโยคจะกลายเป็นประพจน์เชิงประกอบ เช่น
ประพจน์เชิงเดี่ยว 1: วันนี้อากาศดี
ประพจน์เชิงเดี่ยว 2: ฉันมีความสุข
คำสันธาน: ถ้า
ประพจน์เชิงประกอบ: ถ้าวันนี้อากาศดีฉันจะมีความสุข
อีกตัวอย่างหนึ่ง
ประพจน์เชิงเดี่ยว 1: เพื่อนมีหนี้
คำวิเศษณ์: ไม่
ประพจน์เชิงประกอบ 1: เพื่อนไม่มีหนี้
ประพจน์เชิงเดี่ยว 2: เพื่อนมีฐานะ
คำสันธาน: และ
ประพจน์เชิงประกอบ 2: เพื่อนไม่มีหนี้และมีฐานะ
สปอยล่วงหน้า ใครเข้าใจรูปนี้ คุณมาถูกทางแล้ว
เรามีคดีหนึ่ง ที่ตำรวจพบผู้ชายเสียชีวิตอยู่ในห้องของตน แฟนของเขาคือผู้ต้องสงสัย ตำรวจจึงสอบปากคำเธอ จากคำให้การด้านล่าง คุณรู้หรือไม่ว่าเธอกำลังโกหกตำรวจหรือเธอพูดความจริง
ถ้าฉันไม่ได้ไปหาแฟนเพราะฉันมีนัดกับคนอื่น ฉันจะไม่ได้อยู่กับแฟนในวันเกิดเหตุ เพราะโดยปกติแล้ว ฉันจะทำอย่างนั้นถ้าฉันไม่ลืมกฎที่ตั้งไว้กับแฟนว่า ทุกครั้งที่ฉันมีนัด ฉันจะไปหาแฟนหรือออกไปข้างนอกหรือทั้งคู่
แฟนผู้เสียชีวิต ผู้ต้องสงสัย
งงใช่ไหม นี่แหละคือปัญหา
เพื่อความสะดวกและการจัดระเบียบคำพูด เราจึงมักแทนเหตุการณ์ต่าง ๆ ด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก (จริง ๆ จะเป็นตัวแบบไหนก็ได้) เพื่อทำให้เรามองปุ๊บแล้วรู้ปั๊บได้ทันทีว่าประโยคใดคือเหตุการณ์เดียวกัน แล้วเชื่อมโยงกันอย่างไร
อย่างกรณีนี้ เราสามารถแทนเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ว่า
ฉันไปหาแฟน = p
ฉันมีนัด = q
ฉันออกไปข้างนอก = r
เมื่อแทนตัวอักษรลงไปในประโยค เราจะได้ประโยคแบบใหม่หน้าตาแบบนี้
ถ้าไม่ p เพราะ q จะ r ถ้าไม่ลืมกฎที่ว่า ทุกครั้งที่ q จะ p หรือ r หรือทั้ง p และ r
ผู้ต้องสงสัย
จะเห็นได้ว่า เราจับกลุ่มเหตุการณ์ได้ง่ายขึ้น แต่ก็ยังเห็นภาพไม่ชัดเจนอยู่ดี จึงได้มีการแทนคำเชื่อมต่าง ๆ ด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้
((~p∧q)→r) ← (q→(p∨r∨(p∧r)))
ผู้ต้องสงสัย
จะเห็นได้ว่า จากประโยคภาษาไทยยาว ๆ เข้าใจยาก ตอนนี้ถูกย่อเหลือแต่สัญลักษณ์เท่านั้น ว่าแต่เขาย่อกันยังไง ถึงออกมาเป็นหน้าตาแบบนี้ล่ะ?
ตัวเชื่อมประพจน์หรือคำสันธานยอดฮิตในทางตรรกศาสตร์มีอยู่ 5 ตัวได้แก่ ...
♦ NOT (นิเสธ / ไม่) ♦
ทำให้ค่าความจริงของประพจน์เดิมต้องกลับด้าน จากจริงเป็นเท็จ จากเท็จเป็นจริง เช่น
"คุณรู้จักฉัน" มีนิเสธเป็น "คุณไม่รู้จักฉัน"
"ปากกานี้ลบได้" เป็น "ปากกานี้ลบไม่ได้"
"เขาไม่ใช่นักธุรกิจ" เป็น "เขาเป็นนักธุรกิจ"
"ทุกคนเป็นสมาชิกชมรม" เป็น "บางคนไม่เป็นสมาชิกชมรม" (สำหรับอันนี้ คุยกันต่อในอนาคต)
"ฉันมีเงินมากขึ้น" เป็น "ฉันไม่ได้มีเงินมากขึ้น"
เอ๋ แล้วมันต่างจาก "ฉันมีเงินน้อยลง" ยังไง?
คำตอบก็คือ "ฉันมีเงินน้อยลง" มีความหมายตรงข้ามแต่ไม่ใช่นิเสธของ "ฉันมีเงินมากขึ้น"
หยุดความงงเอาไว้ก่อน! จริงอยู่ที่เราบอกว่านิเสธคือการกลับด้าน แต่มันคือการกลับด้านค่าความจริง(จริง/เท็จ) ไม่ใช่กลับด้านความหมาย! ดังนั้นความหมายจริง ๆ ของนิเสธก็คือ "อะไรก็ได้ที่ไม่ใช่อันนั้น"
อย่างในบริบทนี้ นิเสธของมันก็คือ อะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ "ฉันมีเงินมากขึ้น" เพราะอย่าลืมว่ายังมี "ฉันมีเงินเท่าเดิม" อยู่ด้วย! เวลาที่คุณมีเงินเท่าเดิม คุณมีเงินเพิ่มขึ้นหรือไม่? ก็ไม่!
ดังนั้น "ฉันมีเงินเท่าเดิม" และ "ฉันมีเงินน้อยลง" ต่างก็ให้ค่าความจริงตรงข้ามกับ "ฉันมีเงินมากขึ้น" ถ้าคุณมีเงินมากขึ้นจริง การที่คุณมีเงินเท่าเดิมจะเป็นเท็จ และการที่คุณมีเงินน้อยลงก็เป็นเท็จเช่นกัน ทั้ง 2 ประพจน์มีความหมายรวมกันว่า "ฉันไม่ได้มีเงินมากขึ้น"
เนื่องจากตัวนี้เป็นคำคุณศัพท์หรือกริยาวิเศษณ์ ดังนั้นมันจะไม่ได้มีหน้าที่เชื่อมระหว่างประพจน์ แต่จะใส่ไว้ข้างหน้าประพจน์ เช่น
นิเสธของ p คือ ~p
นิเสธของ ~q คือ ~(~q) หรือก็คือ q
ในการอธิบายหลังจากนี้ ประพจน์เชิงประกอบจะถูกเรียกว่า "สัญญา / ข้อตกลง" ส่วนประพจน์เชิงเดี่ยวแต่ละตัว คือองค์ประกอบที่ทำให้สัญญา / ข้อตกลงเป็นจริงหรือเท็จ ถ้ายังนึกภาพไม่ออก อ่านต่อได้เลย
♦ AND (และ) ♦
แฟนสัญญากับคุณว่า "พรุ่งนี้ ฉันจะซื้อขนมผิงและโตเกียวมาให้" วันถัดมา คุณตั้งตารอด้วยความหิว สิ่งที่จะเกิดขึ้น ได้แก่
- แฟนไม่ได้ซื้ออะไรมาเลย แฟนคุณผิดสัญญา ✖
- แฟนซื้อมาแค่ขนมผิง ไม่มีโตเกียว แฟนทำผิดสัญญา ✖
- แฟนซื้อมาแค่โตเกียว ไม่มีขนมผิง แฟนทำผิดสัญญา ✖
- แฟนซื้อมาทั้ง 2 อย่าง คุณทานขนมอย่างเอร็ดอร่อย เพราะแฟนยึดมั่นในสัญญา ✔
สรุปเป็นภาพได้ดังนี้
♦ OR (หรือ) ♦
พ่อสัญญากับคุณว่า "ปิดเทอมนี้เราจะไปเที่ยวสวนสนุกหรือพิพิธภัณฑ์กันนะลูก" เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นตอนปิดเทอม ได้แก่
- พ่อไม่ได้พาคุณไปเที่ยวเลย พ่อคุณโกหก ✖
- พ่อพาคุณไปสวนสนุก พ่อทำตามสัญญา ✔
- พ่อพาคุณไปพิพิธภัณฑ์ พ่อทำตามสัญญา ✔
- พ่อพาคุณไปทั้งสองที่ คุณได้โบนัส ยินดีด้วย ✔
สรุปเป็นภาพได้ดังนี้
♦ IF...THEN (ถ้า...แล้ว) ♦
แม่สัญญากับคุณว่า "ถ้าลูกเล่นเกมชนะแม่ แม่จะซื้อไก่ทอดให้ลูกกิน" คุณก็เลยเอาจริงสุดชีวิตเพื่อไก่ทอด เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นหลังเกมจบ ได้แก่
- คุณชนะ แม่ซื้อไก่ทอดให้คุณจริง ๆ แม่ทำตามสัญญา ✔
- คุณชนะ แต่แม่ไม่ซื้อไก่ทอดให้คุณ แม่ทำผิดสัญญา! ✖
- คุณแพ้ แม่ไม่ซื้อไก่ทอดให้คุณ ก็ถือว่าทำตามสัญญา เพราะคุณแพ้เองนะ ✔
- คุณแพ้ แต่แม่ซื้อไก่ทอดให้คุณ แม่พระชัด ๆ และถือว่าแม่ทำเกินสัญญา ✔
สรุปเป็นภาพได้ดังนี้
♦ IF AND ONLY IF (ก็ต่อเมื่อ) ♦
วันนี้เจ้านายทำข้อตกลงกับคุณว่า "คุณจะได้เลื่อนตำแหน่งก็ต่อเมื่อคุณทำงานนี้ได้ดี" คุณจึงตั้งใจทำงานที่สุด เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นหลังส่งงาน ได้แก่
- คุณทำงานดี คุณได้เลื่อนขั้น นั่นคือเจ้านายทำตามข้อตกลง ✔
- คุณทำงานดี แต่คุณไม่ได้เลื่อนขั้น คุณกำลังเจอเจ้านายจอมหลอกลวง! ✖
- คุณทำงานไม่ดี คุณไม่ได้เลื่อนขั้น ก็ตามข้อตกลงนะ ครั้งหน้าค่อยเอาใหม่ ✔
- คุณทำงานไม่ดี แต่คุณได้เลื่อนขั้น บริษัททำผิดข้อตกลงของตนเอง ✖
สรุปเป็นภาพได้ดังนี้
♦ สรุปลักษณะเด่นของสัญลักษณ์แต่ละตัว ♦
- และ (∧) สัญญาเป็นจริงแค่ตอนที่ทั้ง 2 เหตุการณ์เป็นจริงทั้งคู่เท่านั้น
- หรือ (∨) สัญญาเป็นเท็จแค่ตอนที่ทั้ง 2 เหตุการณ์เป็นเท็จทั้งคู่เท่านั้น
- ถ้า...แล้ว (→) สัญญาเป็นเท็จแค่ตอนที่ฝั่งซ้ายเป็นจริงและฝั่งขวาเป็นเท็จเท่านั้น
- ก็ต่อเมื่อ (↔) สัญญาเป็นจริงตอนที่ทั้ง 2 เหตุการณ์มีค่าความจริงเดียวกันเท่านั้น
สรุปเป็นตารางรวมได้ดังนี้
นี่แหละที่นักเรียน ม.4 เห็นกันบ่อย ๆ
☕ เฉลยคำถามท้ายโพสต์ที่แล้ว ✨
คำถาม: ประโยค "ยินดีต้อนรับสู่บ้านเรา" เป็นประพจน์หรือไม่?
คำตอบ: ไม่ใช่!
เพราะรูปประโยคนี้เป็นเพียงภาคแสดงเท่านั้น ไม่มีประธาน ซึ่งมีโครงสร้างแบบเดียวกับประโยคคำสั่ง (เช่น "ไปทำงาน" "หยุดเดี๋ยวนี้" ฯลฯ)
หลายคนอาจตีความไปไกลว่า ความหมายของประโยคนี้คือ "ฉันต้อนรับคุณอย่างยินดีสู่บ้านเรา" ซึ่งสามารถบอกค่าความจริงได้จากตรวจสอบว่า
- ต้อนรับอย่างยินดีจริงหรือไม่
- นี่ใช่บ้านเราจริงหรือไม่
แต่ประโยคนี้ไม่ได้ถูกนำมาใช้สนทนาทั่วไปในชีวิตประจำวัน บริบทเดียวที่จะเป็นอย่างนั้นคือ คุณถามเพื่อนคุณว่า "คุณรู้สึกยังไงที่เรามาที่นี่" แล้วเพื่อนคุณจึงตอบว่า "ฉันรู้สึกยินดี" ซึ่งก็ไม่ใช่ประโยค "ยินดีต้อนรับสู่บ้านเรา" อยู่ดี
ประโยคนี้ถูกใช้ในบริบทเดียวคือการทักทาย และมีนัยยะเชิญชวนให้แขกเข้ามาที่สถานที่ของคนพูดประโยคนั้น มันจึงเป็นประโยคแสดงความปรารถนา คล้ายกับประโยคขอร้องหรือประโยคคำสั่ง จึงสรุปได้ว่า "ยินดีต้อนรับสู่บ้านเรา" ไม่ใช่ประพจน์
เฉลยโพสต์หน้าเหมือนเดิมนะ
𝗥𝗲𝗳𝗲𝗿𝗲𝗻𝗰𝗲 (อ้างอิง)
- 1.ฐาปกรณ์ พันธรักษ์. inspire สรุปเข้ม+ข้อสอบ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย มั่นใจเต็ม 100. นนทบุรี : ไอดีซีฯ; 2561
- 2.Wikipedia. (2022). 𝗟𝗼𝗴𝗶𝗰𝗮𝗹 𝗰𝗼𝗻𝗻𝗲𝗰𝘁𝗶𝘃𝗲. Retrieved May 10, 2022, from https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_connective
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
