ตอนเรียนไม่มีอย่างงี้นี่! ดีนะที่ไม่ออกสอบ
หลักสูตรตรรกศาสตร์ ม.4 ในหนังสือเรียนปัจจุบันเป็นเพียงแค่พื้นฐานเท่านั้น ทว่าในชีวิตจริง มนุษย์เราใช้ไวยากรณ์ที่หลากหลายและซับซ้อน จนแม้แต่คนประเทศเดียวกันที่ใช้ภาษาเดียวกัน อาจยังสื่อสารกันไม่เข้าใจ
โพสต์นี้เราจะพาคุณมาดูความลึกลับซับซ้อนของ "ถ้า...แล้ว" และ "ก็ต่อเมื่อ" ที่หนังสือเรียนไม่เคยบอกคุณมาก่อน!
ภาพจาก Books study photo created by freepik - www.freepik.com
♦ 𝗔𝗻𝘁𝗲𝗰𝗲𝗱𝗲𝗻𝘁 𝗩𝗦 𝗖𝗼𝗻𝘀𝗲𝗾𝘂𝗲𝗻𝘁 ♦
ในโพสต์ก่อนที่เราแนะนำตัวเชื่อมประพจน์ทุกตัว
(โพสต์ 🔗 https://www.blockdit.com/posts/627a069e3994ec74a9d43c2a) เราได้อธิบายคอนเซ็ปต์พื้นฐานของแต่ละตัวไปแล้ว แต่มันอาจจะทำให้คุณเข้าใจอะไรบางอย่างผิด
คุณอาจจะเข้าใจว่า ประพจน์หลัง "ถ้า" เป็นเหตุการณ์เงื่อนไข หรือเหตุของผลเท่านั้น เช่น
- "ลูกมีแฟน" ของ "ถ้าลูกมีแฟน แล้วลูกต้องดูแลแฟนให้ดี" เป็นเงื่อนไข
- "x มากกว่า 5" ของ "ถ้า x มากกว่า 5 แล้ว x² มากกว่า 25" เป็นเหตุของผล
แต่แท้จริงแล้ว "ถ้า...แล้ว" มีองค์ประกอบจริง ๆ คือ antecedent และ consequent
เพื่อลดความสับสน ขออนุญาตใช้ศัพท์ไทยว่า
antecedent = เหตุเกิด
consequent = ผลพวง
ถ้าพืชมีสีเขียว แสดงว่ามันมีคลอโรฟิลล์
หนังสือเรียนวิทยาศาสตร์
จะเห็นได้ว่า การที่พืชมีสีเขียว ไม่ได้เป็นเหตุที่ทำให้พืชมีคลอโรฟิลล์ แต่กลับกัน การที่พืชมีคลอโรฟิลล์ต่างหากที่ทำให้พืชมีสีเขียว!
ในประโยคนี้ "พืชมีสีเขียว" คือเหตุเกิด ส่วน "มันมีคลอโรฟิลล์" เป็นผลพวง
ผลพวงในที่นี้ไม่ได้หมายถึงว่ามันเกิดจากเหตุ แต่หมายถึงเป็นสิ่งที่เรารับรู้ ในกรณีนี้ คือเรารับรู้ว่า "อ๋อ~ นี่คือหลักฐานที่ชี้ว่าต้นไม้มันมีคลอโรฟิลล์"
อีกตัวอย่างก็เช่น "พรุ่งนี้ฉันคงยังไปไม่ถึงกรุงเทพ ฯ นะ ถ้าเธอไม่เห็นฉัน" เหมือนเดิมเลย คือ การที่เธอไม่เห็นฉัน ไม่ได้เป็นเหตุที่ทำให้ฉันยังไปไม่ถึงกรุงเทพ ฯ
แต่เป็นสิ่งที่คู่สนทนารับรู้ว่า "อ๋อ~ เราไม่ต้องกังวลว่าจะเกิดอะไรไม่ดีกับเธอ เพราะเธอคงยังมาไม่ถึงกรุงเทพ ฯ เท่านั้นเอง"
บัดนี้ เราขอแนะนำให้คุณรู้จักกับตัวเชื่อมที่สร้างความปั่นป่วนมหาศาลให้แก่ "ถ้า...แล้ว (if...then)" เป็นอย่างมาก มันคือ...
♦ 𝗢𝗡𝗟𝗬 𝗜𝗙 (เฉพาะถ้า) ♦
หืม? มันปั่นป่วนยังไง? เราขอลองให้คุณเทียบประพจน์ 2 ตัวนี้
❶ เธอจะใส่หมวก ถ้าแดดร้อน
❷ เธอจะใส่หมวก เฉพาะถ้าแดดร้อน
ถ้าเราให้
"แดดร้อน" เป็น p และ
"เธอใส่หมวก" เป็น q
ประพจน์ ❶ จะมีหน้าตาเป็น p → q
เราให้คุณเดาว่าประพจน์ ❷ หน้าตาเป็นยังไง
.
.
.
เฉลย มันคือ q → p สลับจากประพจน์ ❶ !!!
🤣🤣🤣🤣
เอ้า! เติม "เฉพาะ" ไปคำเดียว ถึงกับย้ายฝั่งกันเลยทีเดียว สาเหตุที่มันเป็นอย่างนั้น เพราะว่า "ถ้า...แล้ว" มีสมบัติ 2 ประการที่เรียกว่า...
♦ 𝗦𝘂𝗳𝗳𝗶𝗰𝗶𝗲𝗻𝗰𝘆 𝗩𝗦 𝗡𝗲𝗰𝗲𝘀𝘀𝗶𝘁𝘆 ♦
อย่างที่เรารู้กันดีว่า ประพจน์ถ้า...แล้ว... ไม่สามารถเป็น จริง→เท็จ นอกนั้นเป็นได้หมด
เช่น พ่อบอกว่า "ถ้าลูกเรียนดี แล้วพ่อให้รางวัล" กรณีเดียวที่เป็นไปไม่ได้ (เพราะพ่อจะผิดสัญญา) นั่นคือ ลูกเรียนดี แล้วพ่อไม่ให้รางวัล
กลับกัน ถ้าลูกเรียนแย่ พ่ออาจจะให้รางวัลก็ได้ ยังถือว่าอยู่ในสัญญา เพราะพ่อไม่ได้บอกว่า "ถ้าลูกเรียนแย่ แล้วพ่อจะไม่ให้รางวัล"
สมมติว่าเราเป็นคนนอก แล้วพ่อเล่าเรื่องสัญญานี้ให้เราฟัง ถ้าเหตุการณ์จริงที่เกิดขึ้นคือ...
- ลูกเรียนดี เรารู้ได้ทันทีเลยว่าพ่อจะให้รางวัล แสดงว่าประพจน์ "ลูกเรียนดี" เป็นข้อมูลที่เพียงพอ (sufficient) สำหรับการคาดเดาเหตุการณ์
- พ่อให้รางวัล เราไม่อาจรู้ได้ว่าลูกเรียนดีหรือแย่ เพราะบางทีลูกอาจเรียนแย่แต่พ่อใจดีก็ได้ แสดงว่าประพจน์ "พ่อให้รางวัล" เป็นข้อมูลที่ไม่เพียงพอ (insufficient) สำหรับการคาดเดาเหตุการณ์
เราขอใช้ตัวอย่างเดียวกับ Khan Academy คือกติกาการเล่นปิงปองดังนี้
" เพื่อที่จะได้แต้ม คุณต้องเสิร์ฟลงโต๊ะตนเองก่อนและลูกเสิร์ฟข้ามเน็ตไปลงโต๊ะฝั่งตรงข้าม และคุณต้องตีลูกที่ฝั่งตรงข้ามส่งมาให้ข้ามเน็ต และลูกต้องลงบนโต๊ะฝั่งตรงข้าม "
" คุณจะเสียแต้ม ถ้าลูกของคุณไม่ผ่านเน็ต หรือออกนอกโต๊ะ หรือคุณเสิร์ฟไม่ลงโต๊ะตนเอง หรือลูกที่ฝั่งตรงข้ามส่งมาอย่างถูกต้องตกถึงพื้นก่อนที่คุณจะตีโดน "
เพื่อป้องกันความสับสน เราขออธิบายว่า ถ้าคุณอยากได้แต้ม คุณต้องทำตามกติกาให้ครบทุกข้อ แต่ถ้าคุณเผลอทำผิดกติกาแม้เพียงข้อเดียว คุณจะเสียแต้มทันที
ในตัวอย่างยาว ๆ เราขอยกประพจน์สั้น ๆ มาดังนี้
❶ เพื่อให้ได้แต้ม คุณต้องเสิร์ฟลงโต๊ะตนเองก่อน
❷ คุณจะเสียแต้ม ถ้าลูกของคุณไม่ผ่านเน็ต
💡 พิจารณา ❶ เราบอกได้ว่า การที่เราได้แต้มหมายถึงเราได้เสิร์ฟลงโต๊ะตนเองไปแล้ว (เพราะถ้าเสิร์ฟไม่ลงโต๊ะตนเอง เราเสียแต้มทันที)
กลับกัน การที่เราเสิร์ฟลงโต๊ะตนเองไปแล้ว ไม่ได้การันตีว่าเราจะได้แต้ม (เพราะเราอาจเล่นพลาดในลูกถัดไป)
นั่นหมายความว่า "ได้แต้ม" เป็นข้อมูลที่เพียงพอ (sufficient) ต่อการคาดเดาเหตุการณ์ ส่วน "เสิร์ฟลงโต๊ะตนเอง" ไม่เพียงพอ (insufficient)
เมื่อพิจารณาให้ลึกขึ้น นอกจากการที่เราเสิร์ฟลงโต๊ะตนเองไปแล้ว เราต้องทำตามกติกาข้ออื่นด้วย เพื่อให้ได้แต้ม ดังนั้น "เสิร์ฟลงโต๊ะตนเอง" จึงเป็นหนึ่งในกฎทั้งหมดที่ต้องบรรลุ
เพราะฉะนั้น นอกจาก "เสิร์ฟลงโต๊ะตนเอง" จะไม่เพียงพอ (insufficient) แล้ว มันยังเป็นสิ่งที่จำเป็น (necessary) จะต้องบรรลุ เพื่อสนองต่อเงื่อนไข หรือจำเป็นต่อการคาดเดาเหตุการณ์ด้วย
อีกประเด็นคือ ประพจน์ถ้า...แล้วจะชี้หัวลูกศรไปยัง "ประพจน์ที่เป็นเท็จไม่ได้" เสมอ ซึ่งเป็นประพจน์อันเดียวกับที่ไม่เพียงพอ (insufficient) นั่นแหละ ลองทบทวนตัวอย่างก่อนหน้านี้ได้
เมื่อพิจารณาจากประเด็นทั้งหมด เราจะเขียน ❶ ในรูปตรรกศาสตร์ได้ว่า "ได้แต้ม → เสิร์ฟลงโต๊ะ" (อย่าลืมว่าเครื่องหมาย → ไม่ได้ชี้จากเหตุไปผลแบบ GAT แต่ชี้จาก sufficient ไป insufficient)
💡 พิจารณา ❷ เราบอกได้ว่า การที่ลูกของเราไม่ผ่านเน็ต การันตีได้เลยว่าเราเสียแต้มแน่นอน
กลับกัน การที่เราเสียแต้ม ไม่ได้การันตีว่าลูกของเราไม่ผ่านเน็ต (เพราะลูกเราอาจผ่านเน็ต แต่เราเสียแต้มจากการเล่นพลาดลูกถัดไปแทน)
นั่นหมายความว่า "ลูกไม่ผ่านเน็ต" เป็นข้อมูลที่เพียงพอ (sufficient) ต่อการคาดเดาเหตุการณ์ ส่วน "เสียแต้ม" ไม่เพียงพอ
เราสามารถเขียน ❷ ในรูปตรรกศาสตร์ได้ว่า
"ลูกไม่ผ่านเน็ต → เสียแต้ม"
💡 ประพจน์ใด ๆ ก็ตามที่เพียงพอต่อการคาดเดาเหตุการณ์ ประพจน์นั้นมีสมบัติความเพียงพอ หรือสมบัติ 𝗦𝘂𝗳𝗳𝗶𝗰𝗶𝗲𝗻𝗰𝘆
💡 ประพจน์ใด ๆ ก็ตามที่จำเป็นต่อการคาดเดาเหตุการณ์ ประพจน์นั้นมีสมบัติความจำเป็น หรือสมบัติ 𝗡𝗲𝗰𝗲𝘀𝘀𝗶𝘁𝘆
จากตัวอย่างทั้งหมดทั้งมวลที่เรายกมา เราสามารถสรุปได้ดังนี้
- ประพจน์ที่มีโครงสร้างแบบ "ถ้า...แล้ว" มีองค์ประกอบคือ antecedent → consequent
- antecedent จะมีสมบัติ sufficiency เสมอ แต่จะไม่มีสมบัติ necessity
- consequent มีสมบัติ necessity ในบางบริบท
- ประพจน์ที่มีสมบัติ necessity มักมีคำอย่าง "ต้อง" "อย่างน้อย" "ห้ามลืม" อยู่ด้วย
กลับมาที่ 𝗢𝗡𝗟𝗬 𝗜𝗙 (เฉพาะถ้า) กันต่อ
❶ เธอจะใส่หมวก ถ้าแดดร้อน
❷ เธอจะใส่หมวก เฉพาะถ้าแดดร้อน
เขียนในรูปตรรกศาสตร์ได้ว่า
❶ แดดร้อน → เธอใส่หมวก
❷ เธอใส่หมวก → แดดร้อน
การเติม "เฉพาะ" ลงไปเพียงคำเดียวทำให้ antecedent และ consequent ของ ❶ สลับที่กัน
สาเหตุของการเปลี่ยนแปลงนี้ มาจากสมบัติ sufficiency ของแต่ละตัว แต่เราต้องแปลความหมายของทั้งคู่ให้ออกเสียก่อน
❶ มีความหมายว่า ทุกครั้งที่แดดร้อน เธอจะใส่หมวกเสมอ แต่บางทีเธอก็ใส่หมวกตอนที่แดดไม่ร้อนเหมือนกัน
❷ มีความหมายว่า เธอจะใส่หมวกเฉพาะตอนที่แดดร้อนเท่านั้น ถ้าแดดไม่ร้อนจะไม่ใส่หมวกเด็ดขาด แต่บางครั้งที่แดดร้อนอาจจะไม่ใส่ก็ได้
จะเห็นได้ว่า ❶ มีประพจน์ "แดดร้อน" ที่มีสมบัติ sufficiency เพราะแค่เรารู้ว่าแดดร้อน ก็การันตีได้เลยว่าเธอจะใส่หมวกแน่นอน
ส่วน ❷ มีประพจน์ "เธอใส่หมวก" ที่มีสมบัติ sufficiency เพราะเธอจะใส่หมวก "เฉพาะตอนที่" แดดร้อนเท่านั้น การที่เราเห็นเธอใส่หมวก จึงการันตีได้เลยว่า แดดร้อนแน่นอน
ดังนั้น การเติม "เฉพาะ" ลงไปก่อน "ถ้า/ตอนที่" ไม่ได้เป็นการสลับความหมาย แต่เป็นการสลับสมบัติ sufficiency ของประพจน์ข้างในนั่นเอง จึงเป็นสาเหตุให้ antecedent และ consequent สลับที่กัน
เป็นไงบ้าง ป่วนจริงไหม?
♦ 𝗜𝗳 𝗮𝗻𝗱 𝗢𝗻𝗹𝘆 𝗶𝗳 (ก็ต่อเมื่อ) ♦
เห็นไหมว่า แม้ภาษาไทยเราจะเรียกตัวเชื่อมนี้ว่า "ก็ต่อเมื่อ" แต่ภาษาอังกฤษมันคือ "if and only if" เมื่อแปลตรงตัวจะได้ "ถ้าและเฉพาะถ้า"
ตอนนี้คุณผู้อ่าน คงคิดว่า
--- รวมพี่รวมน้องแบบนี้ หายนะแน่ ๆ ---
แต่เดี๋ยวก่อน มันไม่ได้ยากขนาดนั้น
มันเป็นเพียงการรวมสมบัติ sufficiency ของประพจน์ถ้า กับประพจน์เฉพาะถ้า เข้าด้วยกัน
เราจะอธิบายให้เข้าใจง่ายดังนี้
🎯 "q ถ้า p (p→q)"
นั่นคือ p มีสมบัติ sufficiency
🎯 "q เฉพาะถ้า p (q→p)"
นั่นคือ q มีสมบัติ sufficiency
เมื่อนำทั้งสองอันมารวมกันด้วย "และ"
จะได้หน้าตาเป็น (p→q)∧(q→p)
ซึ่งนี่คือหน้าตาที่แท้จริงของ p↔q
นอกจากจะได้หน้าตาใหม่แล้ว ยังได้ว่า ทั้ง p และ q ต่างก็มีสมบัติ sufficiency ทั้งคู่ หมายถึง เมื่อเรารู้ p เราการันตี q ได้ กลับกัน เมื่อเรารู้ q เราก็การันตี p ได้เช่นกัน
ยกตัวอย่าง เช่น "เขาจะเซ็นสัญญาก็ต่อเมื่อบริษัทได้รับผลประโยชน์" มีรูปเต็ม ๆ ก็คือ "เขาจะเซ็นสัญญาถ้าบริษัทได้รับผลประโยชน์และเฉพาะถ้าบริษัทได้รับผลประโยชน์เท่านั้น" เดิมทีมี 2 ส่วน ได้แก่
- เขาจะเซ็นสัญญาถ้าบริษัทได้รับผลประโยชน์ 👉🏻 เมื่อไรก็ตามที่บริษัทได้รับผลประโยชน์ เซ็นแน่นอน 100%
- เขาจะเซ็นสัญญาเฉพาะถ้าบริษัทได้รับผลประโยชน์ 👉🏻 ทุกครั้งที่เซ็นหมายถึงบริษัทได้รับผลประโยชน์แน่นอน 100%
พอรวมกันแล้ว จะได้ว่า เมื่อบริษัทได้ผลประโยชน์ เซ็นแน่นอน และจะไม่เซ็น เมื่อบริษัทไม่ได้ผลประโยชน์ นั่นคือ ถ้าเรา(ในฐานะคนนอก) รับรู้ว่าบริษัทได้ผลประโยชน์ เราการันตีได้เลยว่าเขาเซ็นแน่นอน กลับกัน ถ้าเรารับรู้ว่าเขาเซ็น เราการันตีได้เลยว่าบริษัทได้ผลประโยชน์แน่นอน
นี่จึงเป็นการแสดงให้เห็นว่าประพจน์ "เขาเซ็นสัญญา" และ "บริษัทได้รับผลประโยชน์" ต่างก็มีสมบัติ sufficiency ทั้งคู่
♦ สมบัติสลับนิเสธ ♦
นี่คือหัวข้อสุดท้ายของโพสต์นี้นะ เพราะเดี๋ยวโพสต์จะยาวเกินไป ทุกคนจะปวดหัวกันซะก่อน
สมบัตินี้ก็ง่าย ๆ คือ ประพจน์ถ้า...แล้ว ทุกประพจน์ เราสามารถเติมนิเสธลงไปทั้งสองฝั่งแล้วสลับที่ antecedent กับ consequent ได้ เช่น
🎯 p→q เหมือนกับ ~q→~p
🎯 ~r→s เหมือนกับ ~s→r
ตัวอย่างเช่น
🎯 "ถ้าฝนตก แล้วร่มขายดี" เหมือนกับ "ถ้าร่มขายไม่ดี แปลว่าฝนไม่ตก"
🎯 "ฮีจินจะไม่ถูกปฏิเสธถ้าเธอโตพอ" เหมือนกับ "รู้เลยว่าฮีจินไม่โตพอถ้าเธอถูกปฏิเสธ"
ส่วนประพจน์ก็ต่อเมื่อ คุณไม่ต้องกังวล คุณสามารถเลือกได้เลยว่าจะ...
✔ ใส่นิเสธทั้งสองข้าง
✔ สลับข้างประพจน์
✔ ทั้งสองอย่าง
ย่อมมีความหมายเหมือนกับประพจน์ต้นฉบับ
p↔q เหมือนกับ ~p↔~q เหมือนกับ q↔p และเหมือนกับ ~q↔~p
☕ เฉลยคำถามท้ายโพสต์ที่แล้ว 🎶
คำถาม: "รถคันนี้สตาร์ตติดเพราะมีน้ำมัน" "รถคันนี้สตาร์ตติดก็ต่อเมื่อมีน้ำมัน" ทั้ง 2 ประโยคถูกต้องใช่หรือไม่ แล้วทำไมเราถึงไม่บอกว่า "เพราะ" ใกล้เคียงกับ "ก็ต่อเมื่อ" ?
คำตอบ: เพราะสองประพจน์นี้ต่างกันมาก โดยเฉพาะในกรณีที่รถสตาร์ตไม่ติด และไม่มีน้ำมัน ประพจน์ "เพราะ" จะเป็นเท็จ แต่ประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" จะเป็นจริง
อธิบายเพิ่มก็คือ สมมติว่าในสถานการณ์จริง รถสตาร์ตไม่ติด และมันก็ไม่มีน้ำมันด้วย แล้วมีคนมาบอกคุณว่า "รถคันนี้สตาร์ตติดก็ต่อเมื่อมีน้ำมัน" คุณคงคิด "เออเนาะ เขาก็พูดจริงนี่นะ"
แต่ถ้าคนนั้นพูดว่า "รถคันนี้สตาร์ตติดเพราะมีน้ำมัน" คุณคงคิด "คนนี้โกหกนี่หว่า รถยังสตาร์ตไม่ติดเลย ไม่ต้องไปถามหาถึงน้ำมันหรอก!"
ใช่ไหมนะ ?
𝗥𝗲𝗳𝗲𝗿𝗲𝗻𝗰𝗲 (อ้างอิง)
Khan Academy. 𝗜𝗳 𝗫, 𝘁𝗵𝗲𝗻 𝗬 | 𝗦𝘂𝗳𝗳𝗶𝗰𝗶𝗲𝗻𝗰𝘆 𝗮𝗻𝗱 𝗻𝗲𝗰𝗲𝘀𝘀𝗶𝘁𝘆. Retrieved May 16, 2022, from https://www.khanacademy.org/test-prep/lsat/lsat-lessons/logic-toolbox-new/a/logic-toolbox--article--if-x-then-y--sufficiency-and-necessity
Khan Academy. 𝗧𝗵𝗲 𝗟𝗼𝗴𝗶𝗰 𝗼𝗳 "𝗜𝗳" 𝘃𝘀. "𝗢𝗻𝗹𝘆 𝗶𝗳". Retrieved May 15, 2022, from https://www.khanacademy.org/test-prep/lsat/lsat-lessons/logic-toolbox-new/a/logic-toolbox--if-and-only-if
Alpha Score LSAT. (2010). 𝗟𝗦𝗔𝗧 𝗢𝗻𝗹𝘆 𝗜𝗙, 𝗜𝗳 𝗮𝗻𝗱 𝗢𝗻𝗹𝘆 𝗜𝗙 𝗲𝘅𝗽𝗹𝗮𝗶𝗻𝗲𝗱. Retrieved May 16, 2022, from https://www.youtube.com/watch?v=1pC6bikAdh4
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
