อย่างที่เราบอกไปว่าตรรกศาสตร์แม้จะเป็นศาสตร์ที่ไม่มีตัวเลข แต่ก็มีคำนวณ วันนี้เราจะพาคุณไปรู้จักศาสตร์เหล่านั้นกัน
แล้วมันคำนวณอะไร ในเมื่อมันไม่มีตัวเลข?
ก็ความ "จริง/เท็จ" นี่แหละ แค่สองสิ่งนี่ก็สามารถสร้างความซับซ้อนได้มหาศาลแล้ว เทียบได้กับเลขฐานสองที่สร้างโลกเมตาเวิร์สได้ทั้งใบนั่นแหละ นักคณิตศาสตร์เขาขยันกันจริง ๆ
ใช่แล้ว... มีหลายตอน
เริ่มกันที่สิ่งพื้นฐานก่อนเลย
ไม่ว่าจะเป็นศาสตร์ด้านไหนก็ตาม การคำนวณจะเป็นไปไม่ได้ ถ้าขาดเครื่องหมายเท่ากับ ( = )
เพราะมันเป็นเครื่องหมายที่นักคำนวณใช้แสดงวิธีคิดต่อกันไปเรื่อย ๆ (อย่างในภาพด้านล่าง) และเครื่องหมายเท่ากับตัวสุดท้ายจะถูกเขียนตอนแสดงคำตอบ
นี่คือความสำคัญของเครื่องหมายเท่ากับ
แต่มันก็มีปัญหาที่ทำให้การคำนวณทางตรรกศาสตร์อาจใช้เครื่องหมายเท่ากับตรง ๆ ไม่ได้ โดยปัญหาก็คือ นิยามของเครื่องหมายเท่ากับ
⚠️ คำเตือน! ⚠️
สิ่งที่คุณกำลังจะอ่านในอีก 12 บล็อกหลังจากนี้ เนื้อหาอาจมีความผิดพลาด โปรดศึกษาเพิ่มเติมที่ reference ท้ายบทความ หากต้องการนำความรู้ไปใช้ต่อ
เครื่องหมายเท่ากับที่เรารู้จักกันที่มี 2 ขีด ( = ) มีไว้เพื่อบอกว่าสิ่งที่อยู่ด้านซ้ายของมันกับสิ่งที่อยู่ด้านขวาของมัน "มีความเท่ากันทุกประการ" ในภาษาอังกฤษเราเรียกความเท่ากันนี้ว่า Equality
เวลาเราเขียน = ไว้ในสมการที่มีตัวแปรปริศนา เช่น x+5 = 8 ความหมายของมันคือ x+5 กับ 8 ในสมการนี้ต้องเท่ากันทุกประการ
เท่ากันทุกประการที่ว่านั้นหมายถึง เท่ากันทั้ง
🎯 ค่าของมัน (ในที่นี้คือ 8)
🎯 ชนิดของมัน (จำนวนเต็ม) และ
🎯 ใช้แทนกันได้ในทุกบริบท (ถ้าคุณรู้ว่า 8 น้อยกว่า 9 แล้วคุณก็จะรู้ว่า x+5 น้อยกว่า 9 เช่นกัน เป็นต้น)
แต่ในเรื่องตรรกศาสตร์ เรากำลังพูดกันเรื่องค่าความจริง นั่นคือเราดูว่าประพจน์เป็นจริงหรือเท็จ
ยกตัวอย่าง ประพจน์ดังนี้
- p : พุดมีเงิน
- q : พุดซื้อของแบรนด์เนม
ทีนี้ปัญหาเกิดในเวลาเราต้องการบอกว่าประพจน์ 2 ตัวนี้มันมีค่าความจริงเท่ากัน ก็คือเมื่อพุดมีเงินพุดก็จะซื้อของแบรนด์เนม เมื่อพุดไม่มีเงินพุดก็จะไม่ซื้อของแบรนด์เนม (เป็นจริง/เท็จเหมือนกัน) เราจะใช้เครื่องหมาย = ดีหรือไม่?
ถ้าเราใช้เครื่องหมายเท่ากับ...
🎯 ค่าเท่ากัน (จริงเท็จเหมือนกัน) ✔
🎯 ชนิดเดียวกัน (ตัวแปร boolean) ✔
🎯 ใช้แทนกันได้ในทุกบริบท ❔❔❔
ถ้าเราเพิ่มประพจน์เข้าไป
- r : พุดขายของแบรนด์เนม
แล้วลองเปรียบเทียบ p→r และ q→r
► p→r : ถ้าพุดมีเงินแล้วพุดขายของแบรนด์เนม
► q→r : ถ้าพุดซื้อของแบรนด์เนมแล้วพุดขายของแบรนด์เนม
จะเห็นได้ว่า 2 อย่างนี้ใช้แทนกันไม่ได้ ✖
ดังนั้น เครื่องหมาย = จึงไม่เหมาะกับตรรกศาสตร์
นักคณิตศาสตร์จึงหันไปใช้เครื่องหมายเท่ากับแบบ 3 ขีดแทน ( ≡ ) ซึ่งใช้บอกว่าสิ่งที่อยู่ด้านซ้ายของมันกับด้านขวาของมัน "มีคุณสมบัติบางอย่างเหมือนกัน" ในภาษาอังกฤษ เราเรียกความเท่ากันนี้ว่า Equivalence
และในหัวข้อตรรกศาสตร์ เราเรียกกันเป็นภาษาไทยว่า "ความสมมูล"
วิธีการที่เราจะดูว่าประพจน์ทั้งสองตัวที่เราเอามาเทียบกันนั้นสมมูลหรือไม่ ทำได้ 2 วิธีคือ
✔ สร้างตารางค่าความจริงเทียบกัน
✔ ต่อยอดจากสมบัติการสมมูล
♦ การสร้างตารางเพื่อเทียบประพจน์ ♦
เราเคยสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ให้คุณดูไปแล้วใน 👉🏻 https://www.blockdit.com/posts/627a069e3994ec74a9d43c2a
สามารถเข้าไปทบทวนได้เลย
เมื่อเราทำตารางค่าความจริงของทั้ง 2 ประพจน์เสร็จแล้ว ให้นำมาเทียบกัน
💡 ประพจน์คู่ใด ๆ จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงเหมือนกันในทุกกรณี
ตัวอย่างเช่น เราต้องการเช็กว่า p∨~q สมมูลกับ q→p หรือไม่ ให้สร้างตารางดังนี้
🎯 แบ่งกรณี p และ q
🎯 หาค่าความจริงของ ~q
🎯 หาค่าความจริงของ p∨~q
🎯 หาค่าความจริงของ q→p
🎯 เทียบ p∨~q กับ q→p
ประพจน์ที่สมมูลกัน หน้าตาเป็นอย่างนี้
แต่เมื่อประพจน์มีความซับซ้อนยิ่งขึ้น เราต้องทราบลำดับการคำนวณที่ถูกต้อง
เช่น p∧(q∨~p)↔p→q∧~p→q∨q
ประพจน์ยาวเฟื้อย แต่มีวงเล็บมาให้แค่วงเดียว เราจะไม่รู้เลยว่าต้องทำตรงไหนก่อน ถ้าเราไม่ทราบลำดับที่ถูกต้อง
ลำดับการคำนวณจากก่อนไปหลังมีดังนี้
❶ วงเล็บ ( )
❷ นิเสธ ~
❸ และ ∧
❹ หรือ ∨
❺ ถ้า...แล้ว →
❻ ก็ต่อเมื่อ ↔
ตัวเชื่อมเหมือนกันให้เรียงจาก "ขวาไปซ้าย"
ประพจน์สักครู่นี้ เมื่อนำมาคำนวณตามลำดับ จะสามารถนำมาเขียนใหม่ (ใส่วงเล็บ) ได้ดังนี้
[p∧(q∨(~p))]↔[p→(q∧(~p))→(q∨q)]
เนื่องจากมี → ซ้ำ ทำจากขวาไปซ้ายได้ว่า
[p∧(q∨(~p))]↔[p→{(q∧(~p))→(q∨q)}]
ได้ตารางค่าความจริงดังนี้
ใช้สีแยกวงเล็บ | เลข ❶ - ❽ คือลำดับการคิด
อีกตัวอย่าง คือเราต้องการเช็คว่าประพจน์ยาว ๆ เมื่อสักครู่นี้ สมมูลกับ p↔q หรือไม่
ประพจน์ที่ไม่สมมูลกัน หน้าตาเป็นอย่างนี้
♦ สมบัติการสมมูล ♦
โดยปกติแล้วในทางตรรกศาสตร์ เรามักจะพิจารณาการเชื่อมกันของ 2 ประพจน์เป็นหลัก ดังนั้นในสูตรต่าง ๆ คุณจึงมักเห็นแค่ p อยูกับ q นาน ๆ ทีถึงจะมี r เข้ามาอยู่ด้วย
สมบัติด้านล่างที่คุณกำลังจะได้เห็นนี้ บางสมบัติมาจากนิยาม บางสมบัติก็มาจากการสร้างตารางค่าความจริงแล้วเทียบความสมมูลอย่างที่เราแสดงให้เห็นไปแล้วด้านบน
เรามีสมบัติมาเสนอให้คุณทั้งหมด 15 ข้อ
เริ่มจากสมบัติที่ง่ายที่สุดข้อแรกคือ
❶ ไม่ของไม่คือใช่
เวลาเราบอกว่า "คุณไม่ได้ไม่เก่งนะ" มันมีความหมายเดียวกับ "คุณเก่งนะ" หน้าตาของมันคือ
💡 ~(~p) ≡ p
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 สมบัตินิเสธซ้อนนิเสธ (Double Negation)
.
❷ ก่อนหลังไม่สำคัญ
ฉันและเธอ เหมือนกับ เธอและฉัน
💡 p∧q ≡ q∧p
ผมหรือคุณ เหมือนกับ คุณหรือผม
💡 p∨q ≡ q∨p
อีกตัวหนึ่งคือ "ก็ต่อเมื่อ" เพราะตัวเชื่อม "ก็ต่อเมื่อ" พิจารณาจากความเหมือนกันของค่าความจริงทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของมัน ถ้าสองฝั่งเหมือนกัน ต่อให้สลับฝั่งไปก็ไม่มีทางต่างกันได้ แม้สองฝั่งต่างกัน ต่อให้สลับฝั่งไปก็ไม่มีทางเปลี่ยนมาเหมือนกันได้
💡 p↔q ≡ q↔p
📌 มีเพียงแค่ "ถ้า...แล้ว" เท่านั้นที่ไม่มีสมบัตินี้
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 สมบัติการสลับที่ (Commutative Laws)
.
❸ เลือกเขาเลือกเรา ไม่ต่างกัน
ไม่ว่าจะมี "และ" กี่ตัว สุดท้ายก็ดูแค่ว่ามีประพจน์ที่เป็นเท็จหรือไม่ ถ้ามีเท็จแค่ตัวเดียว ก็จะกลายเป็นเท็จทั้งหมด ดังนั้นการจัดกลุ่มจึงไม่มีผล
💡 (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)
ไม่ว่าจะมี "หรือ" กี่ตัว สุดท้ายก็ดูแค่ว่ามีประพจน์ที่เป็นจริงหรือไม่ ถ้ามีจริงแค่ตัวเดียว ก็จะกลายเป็นจริงทั้งหมด ดังนั้นการจัดกลุ่มจึงไม่มีผล
💡 (p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)
ไม่ว่าจะมี "ก็ต่อเมื่อ" กี่ตัว สุดท้ายก็ดูแค่ว่าทุกตัวมีค่าความจริงเหมือนกันหรือไม่ ถ้าต่างไปแค่ตัวเดียว ก็จะกลายเป็นเท็จทั้งหมด
💡 (p↔q)↔r ≡ p↔(q↔r)
📌 มีเพียงแค่ "ถ้า...แล้ว" เท่านั้นที่ไม่มีสมบัตินี้
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (Associative Laws)
.
❹ ขยายความ
อันนี้คือสมบัติเฉพาะของ "และ" กับ "หรือ" เท่านั้น
สมบัตินี้น่าจะมาจากการเทียบตารางค่าความจริง
🔥 เทคนิคการจำ 🔥
เครื่องหมายตรงกลางวงเล็บ ก็คือ
เครื่องหมายตรงกลาง *ระหว่าง* วงเล็บ
💡 (p∧q)∨r ≡ (p∨r)∧(q∨r)
💡 (p∨q)∧r ≡ (p∧r)∨(q∧r)
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 สมบัติการแจกแจง (Distributive Laws)
.
❺ ฉัน+ฉัน=ฉัน
นี่ก็สมบัติของ "และ" กับ "หรือ" เท่านั้น
💡 p∧p ≡ p
💡 p∨p ≡ p
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 สมบัตินิจพล (Idempotent Laws)
ชื่ออาจจะงง ๆ แต่มันหมายถึง กระบวนการที่กระทำกับตัวมันเองแล้วได้ผลลัพธ์เป็นตัวมันเอง
พักก่อนแล้วค่อยอ่านต่อก็ได้
❻ เธอเปลี่ยนฉันไม่ได้
ให้ T หมายถึงประพจน์ที่เป็นจริง
และ F หมายถึงประพจน์ที่เป็นเท็จ
ประพจน์ไหนก็ตามที่ "และ" กับ T ถ้าประพจน์นั้นเป็นจริง ประพจน์ใหญ่จะเป็นจริง แต่ถ้าประพจน์นั้นเป็นเท็จ ประพจน์ใหญ่ก็จะเป็นเท็จ
💡 p∧T ≡ p
ประพจน์ไหนก็ตามที่ "หรือ" กับ F ถ้าประพจน์นั้นเป็นจริง ประพจน์ใหญ่จะเป็นจริง แต่ถ้าประพจน์นั้นเป็นเท็จ ประพจน์ใหญ่ก็จะเป็นเท็จ
💡 p∨F ≡ p
ประพจน์ไหนก็ตามที่เป็น consequent ของประพจน์ที่มี antecedent เป็น T จะมีสมบัตินี้ด้วย
💡 T→p ≡ p
ประพจน์ไหนก็ตามที่ "ก็ต่อเมื่อ" กับ T ถ้าประพจน์นั้นเป็นจริง สองข้างจะเหมือนกัน แต่ถ้าประพจน์นั้นเป็นเท็จ สองข้างจะต่างกัน
💡 p↔T ≡ p
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 สมบัติเอกลักษณ์ (Identity Laws)
.
❼ กลายร่าง
สมบัตินี้จะคล้ายกับสมบัติที่แล้ว
ประพจน์ไหนก็ตามที่ "หรือ" กับ T จะเป็นจริงเสมอ
💡 p∨T ≡ T
ประพจน์ไหนก็ตามที่ "และ" กับ F จะไม่มีทางเป็นจริง
💡 p∧F ≡ F
ประพจน์ไหนก็ตามที่เป็น antecedent ของประพจน์ที่มี consequent เป็น T จะมีสมบัตินี้ด้วย
💡 p→T ≡ T
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 สมบัติการครอบครอง
(Universal Bound Laws)
.
❽ เมื่อฉันเจอกับอีกขั้วของตัวเอง
ประพจน์ไหนก็ตามที่ "และ" กับนิเสธของตนเอง จะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเป็นเท็จเสมอ
💡 p∧~p ≡ F
ประพจน์ไหนก็ตามที่ "หรือ" กับนิเสธของตนเอง จะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเป็นจริงเสมอ
💡 p∨~p ≡ T
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 สมบัตินิเสธ (Negation Laws)
.
❾ กระจายนิเสธ
อีกหนึ่งสมบัติเฉพาะของ "และ" กับ "หรือ" เท่านั้น
สมบัตินี้มาจากการเทียบตารางค่าความจริง
🔥 เทคนิคการจำ 🔥
ใส่นิเสธไปทั้งสองตัว แล้วกลับหัวเครื่องหมาย
💡 ~(p∨q) ≡ ~p∧~q
💡 ~(p∧q) ≡ ~p∨~q
นี่ไม่ใช่แค่สมบัติ แต่เป็นกฎที่เรียกว่า
🎯 กฎเดอมอร์แกน (De Morgan's Laws)
เดอมอร์แกน ไม่ได้ค้นพบกฎนี้ แต่เป็นคนที่นำกฎนี้มาเผยแพร่ผ่านงานพิมพ์ของตนร่วมกับ George Boole แล้วทำให้ตรรกศาสตร์ได้รับการพูดถึงอีกครั้ง เสมือนกับเป็นยุคเรเนซองส์ของตรรกศาสตร์
.
❿ มีคนหาย
นี่ก็สมบัติเฉพาะของ "และ" กับ "หรือ" เท่านั้น
💡 p∨(p∧q) ≡ p
ถ้า p เป็นจริง ทั้งหมดก็จะเป็นจริง ถ้า p เป็นเท็จ p∧q ก็จะเป็นเท็จด้วย และนั่นทำให้ p∨(p∧q) เป็นเท็จเช่นกัน จะเห็นได้ว่า q ไม่ส่งผลใด ๆ
💡 p∧(p∨q) ≡ p
ถ้า p เป็นเท็จ ทั้งหมดก็จะเป็นเท็จ ถ้า p เป็นจริง p∨q ก้จะเป็นจริงด้วย และนั่นทำให้ p∧(p∨q) เป็นจริงเช่นกัน
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 สมบัติการดูดซึม (Absorption Laws)
หวังว่าจะไม่ตาลายกันไปก่อนนะ
⓫ สลับนิเสธ
เราเคยพูดถึงสมบัตินี้ไปแล้วในโพสต์ก่อนหน้า
สมบัตินี้มาจากนิยามของ "ถ้า...แล้ว"
💡 p→q ≡ ~q→~p
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 บทแย้งสลับที่ (Contrapositive)
.
⓬ ง่ายขึ้นเยอะ
เราจะเห็นได้ว่า "และ" กับ "หรือ" มีสมบัติมากมาย ทำให้มันยืดหยุ่นต่อการคำนวณมาก แต่ "ถ้า...แล้ว" นี่สิ เพิ่งมีสมบัติแค่ 3 ข้อเท่านั้นเอง
แต่ไม่ต้องกังวล เพราะเราสามารถแปลง "ถ้า...แล้ว" ให้กลายเป็น "หรือ" ได้ดังนี้
💡 p→q ≡ ~p∨q
สมบัตินี้ได้มาจากการสร้างตารางค่าความจริง
นี่ไม่ใช่แค่สมบัติ แต่เป็นกฎที่เรียกว่า
🎯 กฎความเกี่ยวข้อง (Implication)
.
⓭ ร่างที่แท้จริง
เราเคยพูดถึงสมบัตินี้ไปแล้วในโพสต์ก่อนหน้า
สมบัตินี้มาจากนิยามของ "ก็ต่อเมื่อ"
💡 p↔q ≡ (p→q)∧(q→p)
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 กฎการเท่ากัน (Equivalence)
.
⓮ โยกย้าย เครื่องหมายเปลี่ยน
อันนี้ไม่ค่อยได้ใช้ แต่รู้ว่าใช่ว่าใส่บ่าแบกหาม สมบัตินี้เกิดจากการประยุกต์กฎเดอมอร์แกนเข้ากับกฎความเกี่ยวข้อง
💡 (p∧q)→r ≡ p→(q→r)
เราเรียกสมบัตินี้ว่า
🎯 สมบัติการส่งออก (Exportation Laws)
.
⓯ เปลี่ยนฉันเป็นขั้วตรงข้าม
จริง ๆ นี่เป็นอันแถม เพราะไม่มีในหนังสืออ้างอิง แต่ก็เป็นสมบัติที่เรียบง่ายและมีประโยชน์
ประพจน์ที่เป็น antecedent ของประพจน์ที่มี consequent เป็น F จะทำให้ประพจน์ใหญ่มีค่าความจริงตรงข้ามกับประพจน์นั้น
💡 p→F ≡ ~p
ประพจน์ไหนก็ตามที่ "ก็ต่อเมื่อ" กับ F ถ้าประพจน์นั้นเป็น T ประพจน์ใหญ่จะเป็นเท็จ ถ้าประพจน์นั้นเป็น F ประพจน์ใหญ่จะเป็นจริง
💡 p↔F ≡ ~p
♦ สรุปสูตรทั้งหมด ♦
เพื่อความอ่านง่ายเราขอแยกเป็นตระกูลดังนี้
🎯 ตระกูลพื้นฐาน
💡 ~(~p) ≡ p
💡 p∧q ≡ q∧p
💡 p∨q ≡ q∨p
💡 p↔q ≡ q↔p
🎯 ตระกูลเปลี่ยนวงเล็บ
💡 (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)
💡 (p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)
💡 (p↔q)↔r ≡ p↔(q↔r)
💡 (p∧q)∨r ≡ (p∨r)∧(q∨r)
💡 (p∨q)∧r ≡ (p∧r)∨(q∧r)
🎯 ตระกูล p
💡 p∧p ≡ p
💡 p∨p ≡ p
💡 p∧T ≡ p
💡 p∨F ≡ p
💡 T→p ≡ p
💡 p↔T ≡ p
🎯 ตระกูล T/F
💡 p∨T ≡ T
💡 p∧F ≡ F
💡 p→T ≡ T
💡 p∧~p ≡ F
💡 p∨~p ≡ T
🎯 ตระกูลสลายวงเล็บ
💡 ~(p∨q) ≡ ~p∧~q
💡 ~(p∧q) ≡ ~p∨~q
💡 p∨(p∧q) ≡ p
💡 p∧(p∨q) ≡ p
🎯 ตระกูลลูกศร
💡 p→q ≡ ~q→~p
💡 p→q ≡ ~p∨q
💡 p↔q ≡ (p→q)∧(q→p)
💡 (p∧q)→r ≡ p→(q→r)
💡 p→F ≡ ~p
💡 p↔F ≡ ~p
.
ส่วนเรื่องการต่อยอดสมบัติการสมมูลเพื่อเช็กความสมมูลของประพจน์ที่ซับซ้อนเกินกว่าจะสร้างตารางได้ เราขอยกไปไว้โพสต์หน้านะ ไม่งั้นมันจะยาวเกินไป 🙏😅
☕ เฉลยคำถามท้ายโพสต์ที่แล้ว ✨
คำถาม: ประพจน์ p→q กับประพจน์ q→p เป็นประพจน์ที่ตรงข้ามกันหรือไม่
คำตอบ: ไม่ตรงข้ามกัน!
ประพจน์ที่ตรงข้ามกัน ในทางตรรกศาสตร์ หมายถึง ประพจน์ที่มีความเป็นนิเสธของประพจน์อีกตัว เช่น ถ้าคุณจะบอกว่า x ตรงข้ามกับ y คุณต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า x ≡ ~y หรือ y ≡ ~x
แล้วเราจะพิสูจน์มันยังไง? ก็สร้างตารางค่าความจริงแบบที่เราศึกษากันในโพสต์นี้สิ!
ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน จะมีค่าความจริงตรงข้ามกันในทุกกรณี หรือมี T กับ F สลับกันทั้งตาราง พูดง่าย ๆ ก็คือจะต้องไม่มีกรณีใดเลยที่ค่าความจริงตรงกัน
ลองมาทดสอบประพจน์ในโจทย์กัน โดยยกกรณีที่ p และ q เป็นจริง (T) ทั้งคู่มาเทียบ จะได้ว่า p→q ≡ T และ q→p ≡ T ก็ด้วย!
นั่นหมายความว่า p→q กับ q→p ไม่ได้ตรงข้ามกัน
𝗥𝗲𝗳𝗲𝗿𝗲𝗻𝗰𝗲 (อ้างอิง)
1. Wikipedia. (2022). 𝗘𝗾𝘂𝗮𝗹𝘀 𝘀𝗶𝗴𝗻. Retrieved May 20, 2022, from https://en.wikipedia.org/wiki/Equals_sign
2. Wikipedia. (2022). 𝗧𝗿𝗶𝗽𝗹𝗲 𝗯𝗮𝗿. Retrieved May 21, 2022, from https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_bar
3. Wikipedia. (2022). 𝗟𝗼𝗴𝗶𝗰𝗮𝗹 𝗲𝗾𝘂𝗶𝘃𝗮𝗹𝗲𝗻𝗰𝗲. Retrieved May 21, 2022, from https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_equivalence
4. Nipun. (2015). 𝗗𝗶𝗳𝗳𝗲𝗿𝗲𝗻𝗰𝗲 𝗕𝗲𝘁𝘄𝗲𝗲𝗻 𝗘𝗾𝘂𝗮𝗹 𝗮𝗻𝗱 𝗘𝗾𝘂𝗶𝘃𝗮𝗹𝗲𝗻𝘁. Pediaa. Retrieved May 21, 2022, from https://pediaa.com/difference-between-equal-and-equivalent/
5. ฐาปกรณ์ พันธรักษ์. 𝗶𝗻𝘀𝗽𝗶𝗿𝗲 สรุปเข้ม+ข้อสอบ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย มั่นใจเต็ม 100. นนทบุรี : ไอดีซีฯ, 2561
6. ปกรณ์ พลาหาญ. รวมสูตร กฎ ทฤษฎี คณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : สุวีริยาสาส์น, 2563
7. A. Doerr & K. Levasseur. (2019). 𝗔𝗽𝗽𝗹𝗶𝗲𝗱 𝗗𝗶𝘀𝗰𝗿𝗲𝘁𝗲 𝗦𝘁𝗿𝘂𝗰𝘁𝘂𝗿𝗲𝘀, 46. University of Massachusetts Lowell. Retrieved May 23, 2022, from https://books.google.co.th/books?id=nD2cAwAAQBAJ
8. Amy Tikkanen. (2022). 𝗔𝘂𝗴𝘂𝘀𝘁𝘂𝘀 𝗗𝗲 𝗠𝗼𝗿𝗴𝗮𝗻. Britannica. Retrieved May 25, 2022, from https://www.britannica.com/biography/Augustus-De-Morgan
𝗙𝘂𝗿𝘁𝗵𝗲𝗿 𝗶𝗻𝗳𝗼 (ศึกษาเพิ่ม)
1. ลองอ่านคนอธิบายความต่างระหว่างเครื่องหมายเท่ากับแบบ 2 ขีดและ 3 ขีด
2. อธิบายเรื่องเดียวกัน แต่มีเรื่องโปรแกรมด้วย
3. ชาวคณิตโต้กันเรื่องลำดับการคำนวณทางตรรกศาสตร์ของ "→" หลายตัวติดกัน
- 3
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
