โพสต์ที่แล้ว เราว่าด้วยเรื่องการสร้างตารางค่าความจริง และสมบัติของการสมมูลทั้ง 15 ข้อ โพสต์นี้เราจะนำสิ่งเหล่านั้นมาต่อยอดกัน
อาจจะตาลายนิด ๆ มึนหน่อย ๆ แต่ถ้าทำได้ คุณอาจจะไม่ต้องกลับมาทวนเรื่องนี้อีกเลย! (ตรรกศาสตร์เป็นเรื่องที่ถ้าเข้าใจมันแล้ว จะจำได้ไปอีกนานเป็นปี)
เราจะเริ่มโดยการแปะ 15 สมบัติไว้ที่นี่...
💡 ~(~p) ≡ p
💡 p∧q ≡ q∧p
💡 p∨q ≡ q∨p
💡 p↔q ≡ q↔p
💡 (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)
💡 (p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)
💡 (p↔q)↔r ≡ p↔(q↔r)
💡 (p∧q)∨r ≡ (p∨r)∧(q∨r)
💡 (p∨q)∧r ≡ (p∧r)∨(q∧r)
💡 p∧p ≡ p
💡 p∨p ≡ p
💡 p∧T ≡ p
💡 p∨F ≡ p
💡 T→p ≡ p
💡 p↔T ≡ p
💡 p∨T ≡ T
💡 p∧F ≡ F
💡 p→T ≡ T
💡 p∧~p ≡ F
💡 p∨~p ≡ T
💡 ~(p∨q) ≡ ~p∧~q
💡 ~(p∧q) ≡ ~p∨~q
💡 p∨(p∧q) ≡ p
💡 p∧(p∨q) ≡ p
💡 p→q ≡ ~q→~p
💡 p→q ≡ ~p∨q
💡 p↔q ≡ (p→q)∧(q→p)
💡 (p∧q)→r ≡ p→(q→r)
💡 p→F ≡ ~p
💡 p↔F ≡ ~p
♦ การต่อยอดสมบัติการสมมูล ♦
เราจะใช้โจทย์เดิมก็คือ เทียบความสมมูลระหว่าง p↔q กับ p∧(q∨~p)↔p→q∧~p→q∨q
🎯 ขั้นที่ 1 - จัดรูป 🎯
เพื่อให้รู้ขั้นตอนการคำนวณ
จัดรูปประพจน์ยาว ๆ นี้ก่อน เขียนได้ว่า
p∧(q∨~p)↔p→q∧~p→q∨q
≡ [(p∧q)∨(p∧~p)]↔[p→((q∧~p)→q)]
🎯 ขั้นที่ 2 - นำสมบัติมาใช้ 🎯
เพื่อพยายามทำให้ทุกอย่างมีแค่ ∧ กับ ∨ เท่านั้น
📌 ข้อสังเกต : ถ้าใช้สมบัติแล้ว บรรทัดจะต้องสั้นลงนะ ถ้ายิ่งทำยิ่งยาวแปลว่าหลงทางแล้ว!
เราเห็นรูป (p∧~p) ซึ่งเข้ากับ "สมบัตินิเสธ" ที่ว่าประพจน์ใดที่ "และ" กับนิเสธของตัวเอง จะได้เท็จเสมอ ดังนั้น
[(p∧q)∨(p∧~p)]↔[p→((q∧~p)→q)]
≡ [(p∧q)∨F]↔[p→((q∧~p)→q)]
เราสังเกตเห็นว่า (q∧~p)→q เข้ากับ "กฎความเกี่ยวข้อง" ที่ว่า x→y ≡ ~x∨y ดังนั้น...
[(p∧q)∨F]↔[p→((q∧~p)→q)]
≡ [(p∧q)∨F]↔[p→(~(q∧~p)∨q)]
จากนั้น เราจะใช้ "กฎเอกลักษณ์" ที่ว่า x∨F ≡ x กับ (p∧q)∨F ฉะนั้น
[(p∧q)∨F]↔[p→(~(q∧~p)∨q)]
≡ (p∧q)↔[p→(~(q∧~p)∨q)]
เรานำ "กฎเดอร์มอร์แกน" ที่ว่า ~(x∧y) ≡ ~x∨~y มาใช้กับ ~(q∧~p) ได้ดังนี้
(p∧q)↔[p→(~(q∧~p)∨q)]
≡ (p∧q)↔[p→(~q∨p∨q)]
เนื่องจาก ~q∨p∨q เป็นเครื่องหมาย ∨ สามตัวที่มี "สมบัติการสลับที่และจัดหมู่" เราจึงสามารถพิจารณาได้เป็น (~q∨q)∨p
(p∧q)↔[p→(~q∨p∨q)]
≡ (p∧q)↔[p→((~q∨q)∨p)]
จาก "สมบัตินิเสธ" ที่ว่า ~x∨x ≡ T
(p∧q)↔[p→((~q∨q)∨p)]
≡ (p∧q)↔[p→(T∨p)]
จาก "สมบัติการครอบครอง" ที่ว่า x∨T ≡ T
(p∧q)↔[p→(T∨p)]
≡ (p∧q)↔[p→T]
จาก "สมบัติการครอบครอง" ที่ว่า x→T ≡ T
(p∧q)↔[p→T]
≡ (p∧q)↔T
จาก "สมบัติเอกลักษณ์" ที่ว่า x↔T ≡ x
(p∧q)↔T
≡ p∧q
ทำต่อไม่ได้แล้ว
สรุปทุกอย่างได้ดังนี้
p∧(q∨~p)↔p→q∧~p→q∨q
≡ [p∧(q∨~p)]↔[p→(q∧~p)→(q∨q)]
≡ [(p∧q)∨(p∧~p)]↔[p→((q∧~p)→q)]
≡ [(p∧q)∨F]↔[p→((q∧~p)→q)]
≡ [(p∧q)∨F]↔[p→(~(q∧~p)∨q)]
≡ (p∧q)↔[p→(~(q∧~p)∨q)]
≡ (p∧q)↔[p→(~q∨p∨q)]
≡ (p∧q)↔[p→((~q∨q)∨p)]
≡ (p∧q)↔[p→(T∨p)]
≡ (p∧q)↔[p→T]
≡ (p∧q)↔T
≡ p∧q
โอ้... ยาวขนาดนี้ สร้างตารางยังจะดีเสียกว่า
แต่ไม่ต้องห่วง คนที่ช่ำชองเขาคิดแค่นี้เอง...
p∧(q∨~p)↔p→q∧~p→q∨q
≡ [p∧(q∨~p)]↔[p→(q∧~p)→(q∨q)]
≡ [(p∧q)∨(p∧~p)]↔[p→((q∧~p)→q)]
≡ [(p∧q)∨F]↔[p→(~q∨p∨q)]
≡ p∧q
สี่บรรทัดจบ!
ดังนั้น แรก ๆ อาจจะยังยากอยู่ แต่ถ้าคุณช่ำชองขึ้นเรื่อย ๆ คุณแทบไม่ต้องกลับไปสร้างตารางอีกเลย!
🎯 ขั้นที่ 3 - เอาประพจน์มาเทียบกัน 🎯
โจทย์คือ เทียบความสมมูลระหว่าง p↔q กับ p∧(q∨~p)↔p→q∧~p→q∨q
ซึ่งเราคำนวณมาแล้วว่า p∧(q∨~p)↔p→q∧~p→q∨q ≡ p∧q
ดังนั้นโจทย์จึงหมายถึง เทียบความสมมูลระหว่าง p↔q กับ p∧q
เรารู้ชัดเจนเลยว่า 2 ตัวนี้ไม่มีทางสมมูลกัน
เห็นไหมว่าเราไม่ต้องสร้างตารางของ p↔q ด้วยซ้ำ
โลกของตรรกศาสตร์ยังมีอีกมากมายให้ไขว่คว้า การที่คุณช่ำชองในการต่อยอดสมบัติการสมมูลแล้ว ไม่ได้หมายความว่าคุณสัมฤทธิ์ผลในเรื่องนี้
อย่าลืมว่าคุณยังไม่เคยเห็น "∀" และ "∃"
แต่เราก็จะพาคุณไปรู้จักมันในโพสต์ถัด ๆ ไป
☕ เฉลยคำถามท้ายโพสต์ที่แล้ว ✨
คำถาม : ลองเปลี่ยน p↔q ให้มีแค่เครื่องหมาย ∧ กับ ∨ และ ~
คำตอบ : เราก็นำสมบัติมาต่อยอดเลย
p↔q
≡ (p→q)∧(q→p) ◄ กฎการเท่ากัน
≡ (~p∨q)∧(~q∨p) ◄ กฎความเกี่ยวข้อง
เสร็จแล้ว! หรือใครจะทำต่อก็ได้
(~p∨q)∧(~q∨p)
≡ (~p∧~q)∨(~p∧p)∨(q∧~q)∨(q∧p)
▲ สมบัติการแจกแจง
≡ (~p∧~q)∨(q∧p)
▲ สมบัตินิเสธและสมบัติเอกลักษณ์
เอามาจากโพสต์เก่านะ
โพสต์ของคดีนี้ 👉🏻 https://www.blockdit.com/posts/627a069e3994ec74a9d43c2a
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
