วิวัฒนาการของจำนวน (ตอนที่ 1)
มนุษย์รู้จัก “การนับ” คน สัตว์ สิ่งของ มานานแล้ว ดังนั้นมนุษย์ย่อมที่จะรู้จัก “จำนวนนับ” มาตั้งแต่ยุคนั้น เช่นเรานับ ส้ม 3 ลูก วัว 5 ตัว แสดงว่าจำนวนนับของเรา คงจะเริ่มตั้งแต่ 1, 2, 3, 4, 5, …..
คราวนี้ หากเรานับวัวได้ 5 ตัว จากนั้น วัวมันเดินหนีไปหมดเราควรจะนับวัวได้เลขอะไร บางคนบอกว่า 0 ซิครับ เพราะ 0 แปลว่า มันไม่มี แต่บางคนบอกว่า 0 มันนับไม่ได้ เพราะมันไม่มี วัว ให้นับ ดังนั้นจะถือว่าเป็นจำนวนนับได้อย่างไร ..... เอาละซิยุ่งแล้ว!
ถ้างั้นก็ต้องมาเริ่มต้นกันใหม่ว่า เราจะเรียกจำนวนแบบไหนว่าเป็นชื่ออะไร พร้อมต้องนิยาม (ให้คำจำกัดความ) จำนวนนั้นให้ชัดเจนด้วย
นอกจากนี้ เราสังเกตได้ว่าจำนวนที่เราจะนับนั้นต่างก็เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดต้องไม่มีเศษส่วนและไม่มีเลขยกกำลัง อีกทั้งต้องเป็นจำนวนที่หาค่าได้ โดยกรณีนี้คือต้องเป็นเลขที่สามารถนับได้
ส่วนกรณีอื่นค่อยคุยกันต่อในภายหลัง ซึ่งถ้าหากเป็นอย่างนี้ เราต้องกำหนดนิยามจำนวนนับกันใหม่ให้ชัดเจน
นิยามของจำนวนเต็ม
จำนวนที่ต้องนิยามก่อนเลยก็คือ“จำนวนเต็ม”หรือ“Integer”อ่านว่า อินทิเจอร์ หมายถึง จำนวนที่ไม่เป็นเศษส่วนหรือไม่สามารถนำกลับมาเขียนใหม่ให้เป็นเศษส่วนได้ (ทศนิยม เขียนกลับมาเป็นเศษส่วนได้ จึงมิใช่จำนวนเต็ม)
นอกจากนี้ต้องสามารถนับได้คือหาค่าได้ (เลขบางชนิดหาค่าที่แท้จริงไม่ได้) เอาล่ะ คราวนี้เราจะมาคุยกันถึงจำนวนนับกัน
เส้นจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่จำนวน "ลบ" "0" และ จำนวนบวก
จำนวนนับ (Counting Numbers) คือจำนวนเต็ม (Integer) ที่มากกว่า “0” เขียนอยู่ในรูปของ เซตคือ
จำนวนนับ : { 1, 2, 3, …..} และมีเส้นจำนวนดังรูปนี้
เส้นจำนวนของจำนวนนับ สังเกตุว่าเริ่มต้นจาก "1"
“0” (Zero) (อ่านว่า ซีโร่)
อย่างที่ได้ยกตัวอย่างข้างต้น มีวัว 5 ตัว เรานับได้ว่ามี 5 ตัว แต่ต่อมา วัวเดินหายไปหมดแล้ว เราก็นับวัวไม่ได้ เพราะเราไม่สามารถนับทุ่งเปล่าๆ รวมเข้ากับการนับจำนวนของวัว
ดังนั้นจึงจำเป็นต้องกำหนดเลข “0” ขึ้นมาโดยมีความหมายว่า ไม่มีสิ่งของที่จะให้นับ เช่น มีส้ม 2 ผล ทานไปแล้ว 2 ผล ดังนั้นน้องเหลือส้ม 0 ผล ….!
จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (Whole Numbers)
เมื่อเรารู้จักจำนวนเต็มตามตัวอย่างแล้ว ก็มีข้อสงสัยต่อไปว่า แล้วจำนวนเต็มเป็นบวกได้อย่างเดียวหรือปล่าว เป็นลบได้ไหม คำถามนี้หากกลับไปดูนิยามของจำนวนเต็มที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ก็ไม่มีข้อห้าม นั่นคือจำนวนนับที่รวม “0” เข้าไปด้วย สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ เซตคือ
จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ : {0, 1, 2, 3, …..}
แล้วเราก็เรียกว่า"จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ"
เส้นจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่รวม 0 เข้าไปด้วย
จำนวนธรรมชาติ (Natural Numbers)
สามารถเป็นได้ทั้ง “จำนวนนับ” { 1, 2, 3, …..} และจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ {0, 1, 2, 3, …..} จำนวนธรรมชาตินี้ดูแล้วแปลกๆครับ เพราะมันเป็นทั้ง จำนวนนับ และเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
พี่เข้าใจ (เอาเอง) ว่าในยุคที่ผ่านๆมาอาจมีความเห็นที่ขัดแย้งกันในเรื่องของ “0” ที่บางคนบอกว่า “0” คือมีจำนวน 0 ชิ้น แต่บางคนบอกว่า 0 มันนับไม่ได้ ดังนั้น “0” จึงไม่ถือเป็นจำนวน ตามที่ได้ยกตัวอย่างข้างต้น
ดังนั้นเพื่อให้เกิดข้อยุติ จึงได้มีการนิยาม “จำนวนธรรมชาติ”ขึ้นมา โดยมีเซตของจำนวนธรรมชาติ = {0, 1, 2, 3, ...}
จำนวนเต็ม (Integer)
เหมือนกับจำนวนนับแต่มีเลขที่เป็นจำนวนเต็มลบด้วย แต่ที่สำคัญจำนวนเต็มต้องไม่เป็นเศษส่วนและต้องไม่สามารถเขียนกลับมาเป็นเศษส่วนได้
ดังนั้น จำนวนเต็มสามารถเป็น
จำนวนลบ {-1, -2, -3,-4,…} , จำนวนบวก {1, 2, 3, 4, ….}
หรือเป็น ศูนย์ {0} ได้ ซึ่งเขียนในรูปของ เซต ได้ดังนี้
จำนวนเต็ม = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
สิ่งหนึ่งของเส้นจำนวนที่ต้องไม่ลืมก็คือ ปลายลูกศรด้านซ้ายของเส้นจำนวน ไปสิ้นสุดที่ -∞ ส่วนด้านขวาสิ้นสุดที่ +∞ นั่นคือ จากรูปเส้นจำนวน ซึ่งเขียนเพียง -10 แต่ก็หมายความรวมถึง -11, -12 … ไปจนถึง -∞ ในทำนองเดียวกันกับทางด้านขวาซึ่งเป็นด้านบวก ก็จะหมายรวมถึง 11, 12 …. ไปจนถึง +∞
เหตุที่ต้อง "ละไว้ในฐานที่เข้าใจ” ก็เพราะเราไม่สามารถเขียน เลขทุกจำนวน จาก 0 ถึง ∞ ได้
ตัวอย่าง เลข −13, −7, 0, 1, 128 เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด แต่ 1/5, 4.7, 3.14 ไม่ใช่จำนวนเต็ม
แสดงตำแหน่งของบนเส้นจำนวน
เรื่องของวิวัฒนาการของจำนวนยังมีอีก ขอผลัดเป็นคราวหน้าซึ่งเป็นตอนจบครับ
- 2
ดูเพิ่มเติมในซีรีส์
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
