วิวัฒนาการของจำนวน (ตอนจบ)
ในตอนที่แล้ว เราได้คุยกันถึงเรื่องจำนวนเต็ม ตอนนี้คงเป็นตอนจบของเรื่อง วิวัฒนาการของจำนวน ซึ่งเราจะคุยกันถึงเรื่องเกี่ยวกับจำนวนกันต่อ
เศษส่วน :
ถ้าน้อง มีส้ม 1 ลูกและต้องการแบ่งส้มนั้นให้เพื่อนคนหนึ่งก็เลยนำมีดมาแบ่ง ส้มเป็น 2 ส่วนเท่าๆ กัน นั่นคือเราแบ่งส้มกันคนละครึ่ง หรือเขียนว่า ทั้งเพื่อนทั้งเราต่างได้ส้มกัน คนละ ½ ลูก ลองดูอีกตัวอย่างดังภาพ
การแบ่งและเศษส่วนคือเรื่องเดียวกัน
ทั้ง 2 ตัวอย่างในรูปเป็นการแสดงให้เห็น เรื่องของเศษส่วนซึ่งเราได้ชนิด ของจำนวนขึ้นมาใหม่เรียกว่า“จำนวนตรรกยะ”(Rational number) หรือ“เศษส่วน” ซึ่งเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน
เราเขียนว่า p / q อ่านว่า p หารด้วย q (ทั้ง p และ q ทั้งคู่ต่างเป็นจำนวนเต็มโดยที่ q ≠ 0 (อ่านว่า q ไม่เท่ากับ 0) นั่นคือ p / q เป็นจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะเขียนได้หลายแบบดังรูป
จำนวนตรรกยะคือเศษส่วน
จำนวนตรรกยะทุกจำนวนยังสามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมไม่รู้จบ หรือ ทศนิยมซ้ำอย่างใดอย่างหนึ่ง ซึ่งจากตัวอย่างในรูป 1/3 เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว 3 ก็เป็นจำนวนตรรกยะด้วย เพราะ 3 = 3 / 1
ดังนั้น สรุปได้ว่า จำนวนตรรกยะ คือจำนวนเต็ม (integer) ทุกจำนวน และ เป็นเศษส่วนทุกจำนวนด้วย
นอกจากนี้จำนวนใดใดที่เขียนในรูปทศนิยมย่อมเป็นจำนวนตรรกยะด้วยเช่นกัน ลองดูตัวอย่างครับ
2.59 = (2.59 x 100) /100 เท่ากับ 259 / 100 เป็นต้น
แต่ ถ้ากรณี เป็นทศนิยมไม่รู้จบ ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ นะครับเพราะเขียนกลับมาเป็นเศษส่วนไม่ได้ คือเขียนกลับมาเป็นเศษส่วนแล้วไม่ได้ค่าเดิม
เช่น 10 / 3 = 3.333…. เราไม่รู้จะเอาเลขอะไรไปคูณ 3.333… เพื่อให้ได้เลขเดิม คือ 10 / 3 ได้
อย่างนี้เราจึงไม่เรียก 3.333… ว่าเป็นจำนวนตรรกยะ แต่เราเรียกจำนวนแบบนี้ว่า “จำนวนอตรรกยะ” (Irrational)
จำนวนอตรรกยะ (Irrational)
จากที่ได้กล่าวข้างต้น น้องๆคงพอมองภาพของจำนวนอตรรกยะได้ชัดเจน ขึ้น ซึ่งอย่างแรกคือ จำนวนอตรรกยะ ย่อมไม่ใช่จำนวนตรรกยะ .... เพราะ ไม่สามารถใช้วิธีการเขียนกลับมาเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้....
ซึ่งน้องๆอาจเคยได้เห็นผ่านตามาบ้างแล้ว หรืออาจกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า จำนวนอตรรกยะเป็น จำนวนจริง (Real Number) ที่ไม่สามารถเขียนกลับมา เป็น เศษส่วนอย่างง่ายได้ ลองดูตัวอย่างครับ
จำนวนอตรรกยะคือจำนวนที่เขียนในรูปของอัตราส่วนไม่ได้
จำนวนจริง (Real Numbers)
จำนวนจริงคือจำนวนที่มาจาก จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ นั่นคือ ถ้าเรามองไปที่เส้นจำนวน ทุกๆจุดบนเส้นจำนวนคือจำนวนจริงทั้งหมด
ถ้าเช่นนั้นแล้ว ∞ และ -∞ เป็นจำนวนจริงด้วยหรือไม่ คำตอบคือไม่เป็นครับ เนื่อง ∞ มีใช่จำนวน แต่เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ที่บอกถึงการไม่มีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด
จำนวนจินตภาพ (Imaginary Numbers)
ตามชื่อเลยครับ จำนวนจินตภาพคือจำนวนที่ต้องใช้จินตนาการ ลองนึกๆดูนะครับ เราต้องหาตัวเลขอะไรที่มาคูณกับตัวเองแล้วได้ผลลัพธ์เป็น -1บ้างลอง คิดตามนะครับ ถ้า (1 x 1) = 1 และ (-1) x (-1) = 1 ซึ่งไม่ใช่ -1 ลองดูภาพ ด้านล่างนี้ครับ
จำนวนจินตภาพมิใช่จำนวนจริงแต่เปลี่ยนกลับไปมาเป็นจำนวนจริงได้
จำนวนจริงคูณกับจำนวนจินตภาพจะได้จำนวนจินตภาพ
จำนวนจินตภาพมีบทบาทสำคัญในงานด้าน วิศวกรรมไฟฟ้ากำลัง วิศวกรรมไฟฟ้าสื่อสาร วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ และอื่นๆ
จำนวนจริงกับจำนวนจินตภาพต่างกันอย่างไร
ในขณะที่เราคุยกันเรื่องจำนวนจินตภาพ น้องๆบางคนบอกว่า “สงสัยคงต้อง ใช้การสร้างจินตนาการในความเข้าใจมัน” ส่วนจำนวนจริงยังพอมองมันเห็น กันได้บ้างเพราะเห็นผ่านตากันมาบ่อยๆ มันอยู่ในโลกแห่งความเป็นจริง
หากน้องๆคิดตามและเข้าใจแบบนี้ ..... น้องๆคิดถูกต้องแล้วครับเพราะจำนวนจริงเป็นจำนวนที่มองเห็นได้ หาค่าได้ มีขอบเขตของจำนวนที่ชัดเจน ส่วนจำนวนจินตภาพตรงกันข้ามกับจำนวนจริงครับ
ข้อสำคัญ จำนวนจินตภาพ ยังไม่รู้แน่ชัดว่ามันอยู่ในตำแหน่งไหนบน “เส้นจำนวน” .... สงสัยอาจจะอยู่ปลายด้านสุดของเส้นจำนวนก็ได้เพราะมันหาค่าไม่ได้ จับมันไปวางกองเอาไว้แถวนั้นท่าจะดี ฝากน้องๆคิดตามดูนะครับ
มีคำถามชวนปวดขมอง มาถามน้องๆว่า เราจะนำเอาจำนวนจินตภาพมารวมกับจำนวนจริงได้หรือเปล่า?
คำตอบคือ “ได้ครับ” ถึงแม้ว่าทั้งจำนวนจริงกับจำนวนจินตภาพ มันอยู่กันคนละโลกกันเลย อันหนึ่งเป็นโลกแห่งความเป็นจริง อีกอันหนึ่งอยู่ในโลกแห่งความฝันและจินตนาการ!
มันก็คงเหมือนมนุษย์เราที่ต้องอยู่ในโลกแห่งความเป็นจริงที่ทุกสิ่งจับต้องได้ แม้ว่าเราจะแอบคิดโน่นคิดนี่ แอบสร้างความคิดฝัน แม้จะมีความสุขบ้างเล็กๆน้อยๆ จากการคิดฝันถึงคนโน้นคนนี้ ก็ตามที .......นั่นคือทั้งโลกแห่งความจริงและการคิดฝันของมนุษย์ สามารถรวมอยู่ในตัวของคนๆเดียวได้
ถ้าเราจับทั้งสองจำนวนคือจำนวนจริงกับจำนวนจินตภาพ มารวมกันเราเรียก จำนวนที่สร้างมันขึ้นมาใหม่ว่า “จำนวนเชิงซ้อน” (Complex Numbers)
จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)
ถ้าเรารวมจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพเราจะได้จำนวนชนิดใหม่ขึ้นมาเรียกว่า “จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)
จำนวนเชิงซ้อนมีทั้งส่วนที่เป็น จำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ โดยที่ส่วนใดส่วนหนึ่งสามารถเป็น “0” ได้
ด้วยเหตุดังกล่าวนี้ จำนวนจริงสามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ครับหาก “ส่วนที่เป็นจำนวนจินตภาพเป็น 0”
ในทำนองเดียวกัน จำนวนจินตภาพก็สามารถเป็น เชิงซ้อนได้หากส่วนที่เป็นจำนวนจริงเป็น “0”
ตัวอย่างจากรูปข้างล่างจะอธิบาย ทำไมถึงเป็นเช่นนี้ .......
จำนวนเชิงซ้อนคือจำนวนที่ประกอบขึ้นมาจากจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ
ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนคือ การรวมจำนวนจริงทั้งหมด และ จำนวนจินตภาพทั้งหมดเข้าด้วยกัน แม้ว่าจะมีส่วนหนึ่งส่วนใดเป็น “0” ก็ตาม
ตอนต่อไปของเรื่องจำนวน จะเป็นเรื่องของ แผนภูมิ ของจำนวนครับ
ดูเพิ่มเติมในซีรีส์
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
