ทฤษฎีเซต (Set Theory) (ตอนที่ 4)
จำนวนของสมาชิกในเซต
จำนวนของสมาชิกที่แตกต่างกันในเซตเดียวกันเขียนได้ว่า n(A)
ตัวอย่าง
A {x : x ∈ N, x < 5} ----> A = {1, 2, 3, 4} ดังนั้น n(A) = 4
เซตของตัวอักษรในคำ “ALGEBRA”
B = { A, L, G, E, B, R } ดังนั้น n(B) = 6
เซตเท่ากัน
เซต A และ เซต B เรียกว่าเท่ากันถ้า มีสมาชิกของทั้ง 2 เซต เหมือนกันทุกตัว คือสมาชิกใน A เหมือนกับสมาชิกใน B เช่น
A = {p, q, r, s} และ B = {p, s, r, q}
ดังนั้น A = B
เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets)
เซต A และ เซต B ถูกเรียกว่า “เทียบเท่ากัน” เมื่อ ทั้ง 2 เซตมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน n (A) = n (B)
เขียนได้ว่า A ↔ B
ข้อสังเกตุ
1.เซตที่เท่ากัน ย่อมเป็นเซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) เสมอ
2.เซตที่เทียบเท่ากัน อาจไม่เป็นเซตที่เท่ากัน
เซตย่อย (Subset)
นิยามของเซตย่อย
ถ้า A และ B เป็นเซต 2 เซต และสมาชิกของเซต A ทุกตัวอยู่ในเซต B ดังนั้นเราเรียก A เป็นเซตย่อย ของ B และเราเขียนว่า A ⊆ B หรือ B ⊇ A
สัญลักษณ์ ⊂ มีความหมายว่า “เป็นสมาชิกของ” หรือ “อยู่ใน”
• ทุกเซตเป็นเซตย่อยของตัวเองเช่น A ⊂ A, B ⊂ B
• เซตว่างเป็นเซตย่อยของทุกเซต
• สัญลักษณ์ ‘⊆’ บอกเราว่า “เป็นเซตย่อยของ” หรือ “อยู่ใน”
• A ⊆ B หมายถึง A เป็นเซตย่อยของ B หรือ A เป็นเซตที่อยู่ใน B.
• B ⊆ A หมายถึง B มี A อยู่ในเซตของตนเอง
ฺB เป็นเซตย่อยของ A
ตัวอย่าง
1.ให้ A = {2, 4, 6}
B = {6, 4, 8, 2}
A เป็นเซตย่อยของ B เพราะสมาชิกทุกตัวของ A อยู่ใน B แต่ B ไม่เป็นเซตย่อยของ A
ข้อสังเกตุ
ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ A ดังนั้น A = B ซึ่งเป็นเซตที่เท่ากัน
ทุกเซตเป็นเซตย่อยของตัวเอง
เซตว่าง หรือ ∅ หรือเซตว่างเป็นเซตย่อยของทุกเซต
2.จำนวนธรรมชาติ ( ℕ ) เป็นเซตย่อยของจำนวนเต็ม ( ℤ ) เราเขียนว่า ℕ ⊂ ℤ
3.Let A = {2, 4, 6}
B = {x : x เป็นจำนวนคู่ที่น้อยกว่า 8} ดังนั้น
A ⊂ B และ B ⊂ A และเรากล่าวได้ว่า A = B
4.ให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {4, 5, 6, 7}
หาก A ⊄ B แล้ว B ⊄ C (⊄ หมายถึง ‘ไม่เป็นเซตย่อยของ’)
Superset:
ถ้า เซต A เป็นเซตย่อยของเซต B เรากล่าวว่า B เป็น Superset ของ A และเราเขียนว่า B ⊇ A หรือ
เขียนสัญกรณ์ว่า A ⊆ B → B ⊇ A
สัญกรณ์ ⊇ หมายถึง ‘เป็น super set ของ’
ตัวอย่าง
A = {1, 3, 5, 7}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
∵ A ⊆ B → B ⊇ A อ่านว่า เพราะว่า A เป็นเซตย่อยของ B แล้ว B เป็น Superset ของ A
เซตย่อยแท้
ถ้า A และ B เป็น เซต 2 เซต แล้ว A ถูกเรียกว่าเป็นเซตย่อยแท้ของ B
ถ้า A ⊆ B แต่ B ⊇ A และ A ≠ B
สัญกรณ์ “⊂” ใช้แทนคำว่าเซตย่อยแท้
ตัวอย่าง
1.A = {1, 2, 3, 4} ดังนั้น n(A) = 4 (จำนวนสมาชิกเท่ากับ 4)
B = {1, 2, 3, 4, 5} n(A) = 5 (จำนวนสมาชิกเท่ากับ 5)
เราสังเกตได้ว่า สมาชิกทั้งหมดของ A อยู่ใน B ด้วย แต่ สมาชิก “5” ที่อยู่ใน B มิได้อยู่ใน A เราเรียกว่า A เป็นเซตย่อยของ B เราเขียนว่า A ⊂ B
สังเกตได้ว่า
ไม่มีเซตใดที่เป็นเซตย่อยแท้ในเซตของตัวเอง
เซตว่าง (∅) เป็นเซตย่อยแท้ของทุกเซต
2.A = {p, q, r} และ B = {p, q, r, s, t}
A เป็นเซตย่อยแท้ของ B ดังเช่นสมาชิกทั้งหมดของ เซต A ที่อยู่ในเซต B ซึ่ง A ≠ B
ลองดูตัวอย่างเปรียบเทียบครับ
เปรียบเทียบเซตย่อยกับเซตย่อยแท้
จำนวนของเซตย่อยแท้ของเซตใดใด
ถ้าเซตหนึ่งมีจำนวนสมาชิก “n” ตัว ดังนั้นจำนวนเซตย่อยแท้ของเซตนั้นคือ (2^(n)) -1 อ่านว่า “(2 ยกกำลัง n) ลบ 1”
ถ้า A = {p, q} เซตย่อยแท้ของ A คือ [{ }, {p}, {q}]
จำนวนสมาชิกของเซตย่อยแท้ของ A คือ
(2^2) -1 – 4 – 1 = 3
จำนวนสมาชิกของเซตย่อยแท้ คือ (2^(n)) -1 โดยที่ n เป็นจำนวนของสมาชิก
ตัวอย่าง
1. ถ้า A {1, 3, 5} แล้ว จงหาเซตย่อยที่เป็นไปได้ของ A และหาจำนวนของเซตย่อย
วิธีทำ
•เซตย่อยของ A ที่ไม่มีสมาชิก { }
•เซตย่อยของ A ที่มีสมาชิก 1 ตัว {1} {3} {5}
•เซตย่อยของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว {1, 3} {1, 5} {3, 5}
•เซตย่อยของ A ที่มีสมาชิก 3 ตัว {1, 3, 5}
ดังนั้นเซตย่อยที่เป็นไปได้ของ A คือ { }, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {1, 5} {3, 5}, {1, 3, 5}
นั่นคือ จำนวนของเซตย่อยของ A ที่เป็นไปได้คือ 8 ซึ่งเท่ากับ 2^3
จำนวนของเซตย่อยแท้คือ 7 = 8 – 1 = (2^3) – 1
การหาเซตย่อยและจำนวนของเซตย่อย
2.ถ้าจำนวนของสมาชิกในเซตคือ 2, จงหาจำนวนของเซตย่อยและเซตย่อยแท้
วิธีทำ
จำนวนของสมาชิกในเซต = 2
ดังนั้นจำนวนของเซตย่อย = ^2 = 4
จำนวนของเซตย่อยแท้ = (2^2) – 1 = 4 – 1 = 3
3.ถ้า A = {1, 2, 3, 4, 5}
ดังนั้น จำนวนของเซตย่อยแท้ = (2^5) - 1
= 32 - 1 = 31
และจำนวนของ power set A = 2^5 = 32
เพาวเวอร์เซต (Power Set)
ถ้า A เป็น เพาวเวอร์เซต (Power Set) ของเซต A นั่นคือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไปด้วยเซตของ A ทั้งหมด
เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย
P(A) = {เซตย่อยทั้งหมดของ A}
เช่น ถ้า A = {1, 2} เซตย่อยของ A คือ ∅, {1}, (2}, {1,2} และเนื่องจาก A = {1, 2} เราแทน {1, 2} ด้วย A
ดังนั้น Power Set ของ A เขียนได้ว่า P(A) = {∅, {1}, {2}, A} ได้เช่นกันครับ
น้องๆอย่างลืมว่า ทุกเซต มีเซตว่างเป็นเซตย่อยของทุกเซตเสมอ นะครับ
ถ้า Power set (A) ของเรา มีสมาชิก อยู่ 3 เซต คือ {a}, {b}, {c}
เราจะเขียนสมาชิกได้จำนวนเท่าใดและเขียนอย่างไร? เขียนได้ดังนี้เลยครับ
ตอนต่อไป เป็น ทฤษฎีเซต (Set Theory) (ตอนที่ 5) ครับ
- 3
ดูเพิ่มเติมในซีรีส์
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
