Blockdit Logo (Mobile)
Stay with Math
•
31 ก.ค. 2020 เวลา 12:00 • การศึกษา
คณิตศาสตร์ตรรกะ (ตอนที่ 1)
คณิตศาสตร์ตรรกะ (Logic Mathematic)
เป็นสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ ที่เปลี่ยนคำพูดที่เราใช้กัน ให้มาอยู่ใน คณิตศาสตร์ ได้อย่างเหมาะสม
นอกจากนี้ ยังเป็นรากฐาน ทางคณิตศาสตร์ และ วิทยาศาสตร์ คอมพิวเตอร์ โดยเรามักเรียกทับศัพท์ว่า “ลอจิก” แทนคำที่ใช้ว่า “ตรรกะ”
ในรูปแบบของคณิตศาสตร์ ลอจิกหมายรวมถึงการศึกษา และ การใช้ลอจิก ทางการคำนวณและการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ด้วย
ลอจิกถูกนำมาใช้ในคณิตศาสตร์ หลายด้านเช่น ทฤษฎีของเซต ทฤษฎีโมเดล ทฤษฎีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ฯลฯ
ลอจิกถูกนำมาใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ การเขียนโปรแกรม (Coding) และ ที่สำคัญ ลอจิกถูกนำมาใช้ในวงการอิเล็กทรอนิกส์เพื่อสร้างชิ้นส่วนของคอมพิวเตอร์ และระบบการสื่อสาร “ดิจิตอล”ทุกชนิด รวมถึงหน่วยความจำอิเล็กทรอนิกส์ทั้งหลาย ในโมดูลที่เล็กที่สุด ก็ใช้หลักของลอจิกสร้างขึ้นมาทั้งสิ้น เปรียบเหมือน บ้านหรือ อาคารต้องมีอิฐบล็อกเป็นส่วนประกอบหลัก
ลอจิกเป็นพื้นฐาน ของการใช้เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ และการใช้เหตุผลทั้งหมด
กฎของลอจิกระบุความหมายของข้อความทางคณิตศาสตร์ กฎเหล่านี้ ช่วยให้เราเข้าใจและให้เหตุผลด้วยข้อความเช่น -
ลอจิกเป็นพื้นฐานของการใช้เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์และการใช้เหตุผล
ความสำคัญของคณิตศาสตร์ลอจิก
กฎของลอจิก ให้ความหมายของประโยคทางคณิตศาสตร์ ที่แม่นยำและเที่ยงตรงซึ่งใช้ในการแยกความแตกต่างของคำพูดทางคณิตศาสตร์ว่า ผิด หรือ ถูก
1
นอกเหนือจากความสำคัญ ในการทำความเข้าใจ ในการใช้เหตุผล ทางคณิตศาสตร์แล้ว ลอจิกยังมีการประยุกต์ใช้ อีกมากมายในวิทยาการคอมพิวเตอร์ การออกแบบ วงจรดิจิตอล ไป จนถึง การสร้างโปรแกรม คอมพิวเตอร์ และ การตรวจสอบความถูกต้องของโปรแกรม
ประพจน์ของลอจิก
ประพจน์คืออะไร?
ประพจน์คือ พื้นฐานการสร้างลอจิก โดยถูกกำหนด ให้เป็นประโยค ที่บอกเราว่าเป็น จริงหรือเท็จ แต่ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
“ค่าความจริง” ของประพจน์ “เป็นจริง” (แสดงด้วย “T”) หากเป็นข้อความจริง
ค่าความจริงของประพจน์ ”เป็นเท็จ” (แสดงด้วย “F”) ถ้าข้อความดังกล่าวเป็น“เท็จ”
ก่อนที่จะยกตัวอย่าง ขอคุยเรื่อง “ค่าความจริง” กันซักหน่อยครับ
หากเราพูดข้อความมาซักประโยคแล้ว ประโยคนั้นจะมีอยู่ 2 ทาง คือ “เท็จ”หรือ“จริง”
ถ้าประโยคนั้นเป็นความจริงแล้ว “ค่าความจริง” ของประโยคนี้จะมีค่า “จริง (T)”
หาก ประโยคนี้ไม่จริง “ค่าความจริง” ของประโยคนี้จะมีค่า “เท็จ (F)”
สิ่งนี้คือหลักการเบื้องต้นของ “ลอจิก”
ลองดูตัวอย่าง“ค่าความจริง” ครับ
1. น้ำกำลังเดือดเย็นมาก ---> “ค่าความจริง” ของประโยคนี้มีค่าเป็น “เท็จ (F)”
2. "3 + 4 = 7" ---> “ค่าความจริง” ของประโยคนี้จะมีค่าเป็น “จริง (T)”
3. ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันตก --->“ค่าความจริง” ของประโยคนี้ “เท็จ (F)”
บางประโยคอาจมีคำตอบได้หลายอย่างหรือไม่มีค่าความจริงเช่น
1. ขณะนี้เป็นเวลาเท่าใด?
2. ออกไปเล่นข้างนอก
3. X + 1 = 2
ทั้ง 3 ประโยคนี้ ไม่ใช่ประพจน์ เพราะ 1 และ 2 “ไม่มีค่าความจริง” เนื่องจาก
ข้อ 1 เป็นประโยคคำถามที่ต้องการคำตอบเป็น ตัวเลข ซึ่งถูกก็ได้ ผิดก็ได้
ข้อ 2 เป็นประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคคำสั่ง (แล้วแต่บริบทอื่น)
ซึ่งไม่ได้ชี้ชัดว่า ถูก หรือ ผิด
ข้อ 3 มีได้หลายคำตอบ และ ถูก ก็ได้ หรือ ผิด ก็ได้
ในการใช้ตัวแปรแทน ประพจน์ ให้ใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น p, q, r, s
นอกจากนี้ ยังรวมไปถึงการสร้างประพจน์ใหม่จากประพจน์เดิม ประพจน์ที่สร้างขึ้น จาก หนึ่ง หรือ สอง ประพจน์เรียกว่า “ประพจน์ผสม” โดยใช้ ตัวเชื่อมทางลอจิกหรือ ตัวดำเนินการทางลอจิก
ตารางความจริง (Truth Table)
ในการพิจารณาทางลอจิกเราจำเป็นต้องรู้ ค่าความจริง ในทุกเหตุการณ์ของประพจน์ ที่เป็นไปได้
ดังนั้น เราจำเป็นต้องนำ ”โอกาสของค่าความจริงที่เป็นไปได้” ทั้งหมดของประพจน์ มาเชื่อมต่อกันเพื่อพิจารณารวมทั้งหมด โดยจัดเป็นตารางเรียกว่าตารางความจริง
ตัวดำเนินการทางลอจิก
นิเสธ (Negation) เป็นตัวดำเนินการทางลอจิกสำหรับ “การปฏิเสธ” (ในทาง ดิจิตอล เรียกว่า “NOT”) โดย
ถ้า p เป็นประพจน์ ดังนั้น นิเสธ p เขียนได้ว่า ﹁ p ซึ่งแปลว่า “ไม่ใช่ p” โดยค่าความจริงของ ﹁ p ตรงข้ามกับค่าของ p
เหรียญ 2 ด้าน
ถ้าเรามีเหรียญ 1 เหรียญ จะเห็นว่าเหรียญมี 2 ด้านคือด้านหน้าและด้านหลัง
ถ้าให้ p เป็นเหรียญ 1 เหรียญ ซึ่งมี 2 ด้านที่ต่างกันโดยค่าความจริงของ p เป็น “จริง” หรือ T เมื่อเป็นด้านหน้า
ดังนั้น นิเสธของ p หรือ ﹁ มีค่าความจริงเป็นเท็จ หรือ F เป็นด้านหลังของเหรียญ นั่นคือเราสามารถกำหนดเหตุการณ์ ได้ 2 เหตุการณ์ของเหรียญ 1 เหรียญ คือ ด้านหน้าและด้านหลัง
สรุปได้ว่า หากด้านหน้าของเหรียญคือ p = T ดังนั้น ﹁ p คือด้านหลังของเหรียญ โดยมีค่าความจริงคือ ﹁ T หรือ F ซึ่งเป็นนิเสธของ T นั่นเอง ดูรูปครับ
เหรียญ 1 เหรียญ จะเห็นว่า เหรียญมี 2 ด้าน
ข้อสังเกตุ
• ถ้าเรามีเหรียญ 1 เหรียญ เราถือว่าเป็นตัวแปร 1 ตัว สมมุติตั้งชื่อตัวแปรนี้ว่า “p"
• เหรียญ 1 เหรียญ คือ “p” มี 2 ด้าน คือ ด้านหน้าและด้านหลัง สามารถ เกิด 2 เหตุการณ์ ซึ่งแทนค่าความจริงของเหรียญ = T หากเป็นด้านหน้าและแทนด้านหลังด้วย ความจริง = F
• หากเราให้ p = “T” คือด้านหน้าของเหรียญแล้ว
ดังนั้นนิเสธของ p คือ ﹁ p = ﹁T ซึ่งเท่ากับ F เป็นด้านหลังของเหรียญ
• ตอนนี้เราสามารถแทนเหรียญด้วยลอจิกแล้วครับ
• หากมีตัวแปร 1 ตัว เราจะเกิด 2 เหตุการณ์ คือด้านหน้ากับ ด้านหลังของเหรียญ
ดูรูปด้านล่างครับ
เหรียญ์1 เหรียญมี 2 เหตุการณ์ที่ไม่เหมือนกัน
ถ้าเรามี 2 ตัวแปรเรามี 4 เหตุการณ์ และถ้ามี 3 ตัวแปร เรามี 8 เหตุการณ์ ฯลฯ
ดูรูปต่อไปครับ
ถ้าเรามี 2 ตัวแปรเรามี 4 เหตุการณ์
คราวหน้าเราจะมาคุยกันถึง ตัวอย่างเหตุการณ์ของ 3 ตัวแปร ครับ

ดูเพิ่มเติมในซีรีส์

โฆษณา