คณิตศาสตร์ตรรกะ (ตอนที่ 3)
ตารางความจริงพื้นฐาน
ตารางความจริง คือตารางที่แสดง "ผล" หรือ "ค่าความจริง"ของประพจน์ ที่เกิดขึ้น เมื่อตัวแปรมี "โอกาส" เปลี่ยนแปลง
ในแต่ละประพจน์ ย่อมมีตัวแปรซึ่งมีจำนวน ตั้งแต่ 1 ตัวขึ้นไป ทำให้ โอกาสที่จะ เกิดเหตุการณ์ มีจำนวน เท่า กับ 2 ยกกำลัง "จำนวนของตัวแปรทั้งหมด" เช่น
ถ้ามีตัวแปร 1 ตัว
โอกาสที่เกิดเหตุการณ์ เท่ากับ 2 ยกกำลัง 1 เท่ากับ 2
ถ้ามีตัวแปร 2 ตัว
โอกาสที่เกิดเหตุการณ์ เท่ากับ 2 ยกกำลัง 2 เท่ากับ 4
ดังที่ได้กล่าวในตอนเริ่มต้น ... หากน้องๆ ที่เพิ่งเข้ามาอ่าน ลองกลับไปอ่านตอนที่ 1 เพิ่มเติมครับ เพื่อจะได้เข้าใจได้ดียิ่งขึ้น
ในพื้นฐานของ ลอจิก เรามีตัวดำเนินการหลายแบบ ซึ่งจะนำมาใช้ในประพจน์ ตามแต่สิ่งที่อยู่ในแต่ละประพจน์ ครับ ดูรูปด้านล่างครับ
ตารางความจริงของลอจิกพื้นฐาน
ต่อไป เราจะมาคุยกัน ในเรื่องของตัวเชื่อม ลอจิก ซึ่งเป็นการนำ "คำพูดในภาษาพูด" เพื่อนำมาแปลงให้เป็น "คำพูดใน ภาษา ลอจิก"
ตัวปฏิเสธ
ถ้า p เป็นประพจน์ ดังนั้น นิเสธ p เขียนว่า ﹁ p ซึ่งเมื่อแปลเป็นภาษาพูดแล้ว ได้ว่า
“ ไม่ใช่กรณีของ p” หรือ “ไม่ใช่ p” หรือ ค่าความจริงของ ﹁ p อยู่ตรงข้ามกับ ค่าความจริงของ p
หากพูดกันในชีวิตจริงคงพอเทียบได้กับคำพูดที่ว่า “เรื่องของชั้น ไม่ใช่เรื่องของเธอ”
ตารางความจริงของ ﹁ p อยู่ในรูปบน ด้านซ้ายมือครับ
ตัวเชื่อม ลอจิก
หากประพจน์ p และ q เชื่อมต่อกันโดย p ∧ q ซึ่งมีความหมายว่า p และ q
ตัวเชื่อมนี้ ทำให้ประพจน์มีค่าความจริงเป็น “จริง” (“T”) หากทั้ง p และ q มีค่าความจริงเป็น “จริง” (“T”) ทั้ง 2 ตัวแปร
มิเช่นนั้น ค่าความจริงเป็น “เท็จ” (“F”)
ตัวอย่าง
ประโยคที่ประพจน์ที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งเป็นประโยคที่มี “และ” เป็นตัวเชื่อม เช่น
ให้ p แทนประพจน์ “วันนี้เป็นวันจันทร์” และ q แทน “วันนี้รถติดมาก”
ประพจน์ทั้งสอง p ∧ q แทนคำพูด “วันนี้เป็นวันจันทร์” และ “รถติดมาก”ซึ่งประพจน์นี้เป็นจริง (T) เมื่อ “เป็นวันจันทร์” และ “รถติดมาก”
ซึ่งประพจน์นี้ เป็นเท็จ (F) เมื่อ รถติดในวันอื่น หรือ วันนี้เป็นวันจันทร์ แต่ “รถไม่ติด”
น้องๆสังเกตดูประพจน์ เมื่อเทียบกับตารางความจริงของ p ∧ q ด้านบน
ดูตัวต่อไปครับ
ตัวเลือก ลอจิก
ในภาษา ลอจิก ใช้คำว่า “ or ” ครับ คือมี สองอย่างให้เลือก
ประพจน์ p กับ q เชื่อมต่อกันโดย p ∨ q ซึ่งมีความหมายว่า p หรือ q
โดย p ∨ q เป็นจริงเมื่อ p หรือ q เป็นจริง ซึ่ง p ∨ q เป็นเท็จ เมื่อ ทั้ง p และ q เป็นเท็จ ทั้ง 2 ประพจน์
สังเกตดูว่า การใช้ “และ” กับ “หรือ” เป็นนัยสำคัญในการเลือกใช้ ลอจิก ครับ
ต่อไปเป็นตัวเชื่อม Exclusive or
Exclusive or อ่านว่า “แอค คู ซีฟ ออ” คำนี้ขอใช้ทับศัพท์นะครับ
มีความหมายว่า “เลือก p หรือ q แต่ไม่ใช่ทั้งคู่”
ถ้า p เป็นจริง หรือ q เป็นจริงแล้ว ค่าความจริงของประพจน์ “เป็นจริง” แต่ ถ้า ทั้ง p และ q เหมือนกัน (จริงทั้งคู่ หรือ เท็จทั้งคู่) แล้ว ค่าความจริง “เป็นเท็จ”
ดูตาราง p ⊕ q ด้านล่างครับ
ความหมายเชิงลอจิก
สองประพจน์ p, q มีความหมายว่า ถ้า p แล้ว q เป็นประพจน์ที่บ่งชี้ เขียนว่า p → q โดย p เป็นสมมุติฐาน และ q เป็นข้อสรุป
p → q ถูกเรียกว่า ประพจน์ เงื่อนไข โดยค่าความจริง เป็นเท็จ เมื่อสมมุติฐานเป็นจริงแต่ข้อสรุปเป็นเท็จ
สังเกตว่า ถ้าสมมุติฐานเป็นจริงแล้วได้ข้อสรุปเป็นจริง ทำให้ประพจน์ค่าความจริง “เป็นจริง” อย่างนี้ไม่แปลกครับ
แต่ ถ้าสมมุติฐาน เป็นเท็จแล้ว (ดูตารางเปรียบเทียบ) ข้อสรุปจะเป็นจริงหรือเท็จ อันนี้ไม่ต้องคิดมากเลยครับ เพราะค่าความจริง “เป็นจริง” ครับ ....
อ้าว ... ทำไมเป็น อย่างนั้นล่ะ
เพราะว่า ถ้าสมมุติฐานเป็นเท็จ ก็คือ สมมุติฐานยังไม่เกิด ข้อสรุปจะเป็นจริงหรือเท็จจึงไม่ต้องพิจารณา
เหมือนเหตุยังไม่เกิด แล้วเราจะไปตั้งข้อสงสัยว่าใครเป็นผู้กระทำผิดไม่ได้ ดังนั้นค่าความจริงจึง “เป็นจริง” ครับ
ประพจน์เงื่อนไขนี้มีบทบาทสำคัญในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ตามตัวอย่างด้านล่างครับ
• "ถ้า p แล้ว q"
• "p เพียงพอสำหรับ q"
• "q เมื่อ p"
• "เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ p คือ q"
• "p เท่านั้น ถ้า q"
• "q ยกเว้น ﹁ p"
• "q ตามจาก p"
ตัวอย่าง
“ถ้าวันนี้เป็นวันศุกร์แล้วมีฝนตกวันนี้ ซึ่งเป็นประพจน์ ในรูปแบบของ p ➙ q
ประพจน์ดังกล่าวเป็นจริง
หากวันนี้มิใช่วันศุกร์ (นั่นคือสมมุติฐานเป็นเท็จ) ฝนจะตกหรือไม่ตก ก็มิได้ขัดแย้งกับเงื่อนไขของ “วันศุกร์” นั่นคือ ทั้งสองกรณี มีค่าความจริง “เป็นจริง” ครับ
คราวหน้า คณิตศาสตร์ตรรกะ (ตอนที่ 4) เป็น เรื่องของ เงื่อนไข 2 ทาง ครับ
ดูเพิ่มเติมในซีรีส์
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
