คณิตศาสตร์ตรรกะ (ตอนที่ 4)
เงื่อนไข ลอจิก 2 ทาง
ให้ p และ q, เป็นประพจน์ใดๆ แล้ว
ประพจน์ “p ถ้า หรือ เพียงแต่ถ้า q” เขียนสั้นๆว่า iff (อ่านว่า"ถ้า หรือ เพียงแต่ ถ้า") คือ เงื่อนไข 2 ทาง ซึ่งเขียนว่า p ⟷ q
ประพจน์ p ⟷ q บางครั้งเรียกว่า เงื่อนไข 2 ทาง (bi-implication)
p ⟷ q มีค่าความจริงเหมือนกันกับ (p → q) ∧ (q → p)
อ่านว่า "ถ้า p แล้ว q" และ "ถ้า q แล้ว p"
ค่าความจริงของประพจน์นี้เป็น “จริง” เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกัน ซึ่งหาก p และ q มีค่าความจริงต่างกัน ค่าความจริงของประพจน์ เป็น “เท็จ”
บางครั้งเราอาจเขียน p ⟷ q เป็น
• “P จำเป็น และ เพียงพอ สำหรับ q”
• “ถ้า p แล้ว q “ และ ตรงข้าม”
• “p ถ้าและเพียงแต่ถ้า q”
ตัวอย่าง
“วันนี้ฝนตก ถ้าและเพียงแต่ถ้า วันนี้เป็นวันศุกร์” เป็นประพจน์ซึ่งอยู่ในรูป p ⟷ q
• ประพจน์นี้ค่าความจริงเป็น“จริง”เมื่อ
วันนี้ไม่ใช่วันศุกร์และไม่มีฝนตก หรือ เป็นวันศุกร์และฝนตก อธิบายเพิ่มครับ
1 ถ้า เป็นวันศุกร์และฝนตก ----> เป็นจริง
2 ถ้า วันนี้ไม่ใช่วันศุกร์และไม่มีฝนตก ----> เป็นจริง
เพราะ ไม่ใช่วันศุกร์ ฝนจึงไม่ตก
3 ถ้า เป็นวันศุกร์และฝน"ไม่"ตก ----> เป็นเท็จ เพราะขัดแย้งกับประพจน์
4 ถ้า "ไม่"เป็นวันศุกร์และ"ฝน" ตก ----> เป็นเท็จ เพราะขัดแย้งกับประพจน์
• ค่าความจริงเป็น “เท็จ” ตามข้อ 3 และ 4
ชนิดของประพจน์ที่อยู่บนฐานของ ค่าความจริง
มีประพจน์อยู่ 3 ชนิดเมื่อเราจำแนกตามค่าความจริง
• Tautology – ประพจน์ที่มีค่าความจริง เป็นจริงเสมอ เรียกว่าสัจนิรันดร์
• Contradiction – ประพจน์ที่มีค่าความจริง เป็นเท็จเสมอ เรียกว่า ข้อขัดแย้ง
• Contingency – ประพจน์ที่มิใช่ทั้ง Tautology และ Contradiction
ตัวอย่าง
• p ∨ ﹁ p เป็น Tautology (เป็นจริงเสมอ) อธิบายได้ดังนี้
เหตุผลคือ ใน 1 ตัวแปร (กรณีนี้ คือ P) มีโอกาสเป็น T หรือ F เท่านั้น
ถ้า p = T ทำ ให้ ﹁ p = F และ ถ้า p = F แล้ว ﹁ p = T
เหมือนกับ เหรียญมี 2 ด้าน ถ้าด้านหนึ่งเป็น “ด้านหน้า” อีกด้านหนึ่งเป็น “ด้านหลัง” ซึ่งเราอาจกล่าวเป็นภาษาพูดได้ว่า
“เหรียญ 1 เหรียญ์ เห็น ด้านหน้า หรือ ด้านหลัง”เสมอ
• p ∧ ﹁ p เป็น Contradiction (เป็นเท็จเสมอ เรียกว่า ข้อขัดแย้ง) เช่น หากเราพูดว่า เหรียญวางบนโต๊ะ เราเห็น “ด้านหน้า” และ “ด้านหลัง” พร้อมกันเสมอ ..... อย่างนี้เป็นเท็จ
ซึ่งเราทราบชัดเจนแล้วว่า ไม่ว่าเหรียญนั้น จะวางด้านหน้า หรือ ด้านหลังบนโต๊ะ เราไม่สามารถมองเห็นพร้อมกันทั้งสองด้าน นี่คือ ข้อขัดแย้ง
• p ∨ q เป็น Contingency ประพจน์ที่ไม่ใช่ทั้ง Tautology และ Contradictionคือประพจน์ที่ขึ้นตามเงื่อนไขที่เรากำหนด
เหรียญมี 2 ด้าน หากวางบนโต๊ะ เราเห็นเพียงด้านเดียวเสมอ
นิยามของการเทียบเท่ากันของลอจิก
ประพจน์ p และ q ถูกเรียกว่า เทียบเท่ากันทางลอจิก ถ้า p ⟷ q เป็น Tautology หรือ (สัจนิรันดร์)
สัญกรณ์ p ≡ q แสดงว่า p และ q เท่ากันทางลอจิก
หนึ่งในวิธีการที่ใช้ในการพิสูจน์ ความเท่ากันทางลอจิกคือ ใช้ตารางความจริง
คำว่า “Tautology” (สัจนิรันดร์) เป็นคำกล่าวหรือประโยคที่เป็นจริงทุกกรณี
ส่วนประโยคที่ตรงข้ามเรียกว่า การขัดแย้ง ( Contradiction) หมายถึง ประพจน์ ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ ไม่ว่าความจริงของประพจน์ย่อย ๆ ที่เป็นตัวแปร จะมีค่า ความเป็นจริงเป็นอย่างไรก็ตาม
ตัวบ่งปริมาณ (quantifier)
น้องๆคงจำกันได้ว่าสูตรคือประพจน์ซึ่งความจริงอาจขึ้นอยู่กับตัวแปรบางตัวเช่น
"(x ≤ 5) ∧ (x > 3)'' เป็นจริงเมื่อ x = 4 และเป็นเท็จหาก x = 6 ลองเปรียบเทียบกับประพจน์ข้างล่างครับ
"สำหรับทุกๆค่าของ x, (x ≤ 5) ∧ (x > 3)'' ---> ซึ่งไม่เป็นความจริง
หาก x = 6 ∵ 6 ≤ 5 เป็นเท็จ นั่นคือ ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ลองดูประโยคนี้ครับ
"ปรากฏว่ามี x บางตัวที่ทำให้ x ≤ 5 ∧ x > 3,'' ประพจน์นี้ มีค่าความจริง "เป็นจริง" เพราะว่า ข้อความ "x บางตัว" ทำให้เป็นการเลือก x ที่ทำให้ประพจน์นี้เป็นจริง
วลี "สำหรับทุก ๆ x '' (บางคนอาจใช้วลีนี้ว่า "สำหรับทุก x'') เรียกว่า “ตัวบ่งปริมาณ ทั่วไป” (universal quantifier) และเขียนแทนด้วย ∀x
ตัวบ่งปริมาณทั่วไป หมายถึง x ตัวไหนก็ได้ ซึ่งบางตัวอาจไม่สอดคล้องกับเงื่อนไข
ส่วนวลี “ปรากฏว่ามี x บางตัว” ถูกเรียกว่าเป็น “ตัวบ่งปริมาณ ที่ปรากฎ” (existential quantifier) และเขียนแทนด้วย ∃x
ตัวบ่งปริมาณแบบนี้คือ ตัวที่ชี้ชัดไปว่า “เป็น x ตัวที่สอดคล้องกับเงื่อนไข”
เราควรต้องระมัดระวังในการใช้ตัวบ่งปริมาณ ∀x P(x) และ ∃x P(x) | P(x) คือ ฟังชั่นของ x ใดๆ
กฎของเดอ มอร์แกน (De Morgan’s Law)
ถ้า P เป็นประโยค ดังนั้น ¬P เรียกว่า นิเสธของ P ซึ่งการดำเนินการ เกี่ยวกับนิเสธ เป็นสิ่งสำคัญในการเข้าใจเหตุผล และ ข้อขัดแย้งทางคณิตศาสตร์
สัจนิรันด์ (tautology) ที่สำคัญดังนี้เป็น กฎของเดอมอร์แกน
¬ (P ∨ Q) ⟷ (¬P ∧ ¬Q)
¬ (P ∧ Q) ⟷ (¬P ∨ ¬Q)
กฎของเดอมอร์แกนสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆด้วย ตารางความจริง
จบเรื่อง คณิตศาสตร์ตรรกะ ครับ
ต่อไปเป็นเรื่อง ฟังก์ชั่น (Function) ซึ่งจะเริ่ม ตอนแรก ตั้งแต่วันที่ 8 ส.ค. ครับ....
ดูเพิ่มเติมในซีรีส์
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
