ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย (ตอนที่ 3)
ตัวอย่างการหาตัวประกอบร่วม
ถ้าต้องการหาตัวประกอบร่วมของ 15, 30 และ 105
ทั้ง 3 จำนวนหลักท้ายสุดคือ 5 กับ 0 ดังนั้น น้องสามารถบอกกับตัวเองในใจได้เลยว่า ต้องมี 5 แล้ว 1 เป็นตัวที่หารทั้ง 3 จำนวนลงตัว ..... นั่นคือ ตัวประกอบร่วมต้องมีเลข 1, 5 แน่นอน ... 1 เป็นตัวแรก
ต่อมา.... เรารู้ว่า 15 = 1 x 3 x 5
เรารู้ว่า 30 = 2 x 15 = 1 x 2 x 3 x 5 นั่นคือเวลาเรากระจาย 30
เราก็เพียงแต่นำเอาชุดของ 15 แล้วเอา 2 แทรกลงไประหว่าง 1 กับ 3
ทุกอย่างที่เหลือ ลอกลงมาได้เลย
จากนั้น 105 = 7 x 15 (อันนี้ต้องอาศัยความชำนาญในการคูณเลขบ่อยๆ) เราเห็นว่า 7 เป็นจำนวนเฉพาะดังนั้นเอา 7 ไปต่อท้ายในชุดที่กระจายเลข 15
จะได้ 105 = 1 x 3 x 5 x 7
ลองดูตารางข้างล่างนี้ครับ
ตัวประกอบร่วมของ 15,30, 105
ประโยชน์ของ หรม. มีหลายอย่าง แต่สิ่งที่น้องๆใช้ หรม กันเป็นประจำแต่ไม่ได้คิดถึงก็คือการทำเศษส่วนอย่างต่ำ เช่น ถ้าเรามีเศษส่วน 12 / 30 ถ้าจะทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำน้องๆจะต้องค่อยๆหาว่าตัวอะไรสามารถหารได้ทั้งเศษและส่วนจนกระทั่งหาไม่ได้ ก็เป็นอันสิ้นสุด
ได้เศษส่วนอย่างต่ำไปส่งการบ้าน
อย่างกรณี 12 / 30 น้องเห็นปุ๊บ ก็ใช้ 2 ตัดเพราะเห็นง่ายดี ทำให้ 12 / 30 = 6 / 15 …. ยังไม่จบ เพราะเอา 3 ตัดได้อีก ทำให้ 6 / 15 เหลือเป็น
2 / 5 คราวนี้น่าจะจบมั๊ง?
ใช่ครับ จบแน่ เพราะว่า 12 / 30 ของน้องแปลงสภาพเป็น 2 / 5
ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะไปแล้วหาอะไรไปตัดมันก็ไม่ได้แล้ว
อ้าวและถ้ามันไม่เป็นจำนวนเฉพาะทั้ง 2 ตัวล่ะ?
เศษส่วนอย่างต่ำไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะครับเป็นจำนวนประกอบด้วยกันทั้งคู่ก็ได้ หรือ เป็นเพียง เศษ หรือ ส่วน อย่างใดอย่างหนึ่ง็ได้เช่น 8 / 15 ซึ่ง = (2 x 2 x 2) / (3 x 5) และ ทั้งตัวประกอบของ 8 ไม่มีใน 15
หรือกลับกัน ตัวประกอบใน 15 ไม่มีใน 8 ดังนั้น 8 / 15 เป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้ว ถ้าจะหารกันให้ได้ จำนวน 8 / 15 ต้องเขียนเป็นรูปของทศนิยมครับ
ส่วน 15 / 8 เขียนได้เป็นรูปของจำนวนคละ หรือ ทศนิยมก็ได้
น้องๆทราบไหมครับว่า วิธีการที่น้องพยายามทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วน
อย่างต่ำดังข้างบนนั้น คือการที่น้องพยายามหา “ตัวประกอบ” ในใจไม่ว่าจะ
เป็นจำนวนเฉพาะ หรือจำนวนประกอบก็ตาม ดังนั้น การกระจายตัวประกอบ
ออกมาเพื่อหา หรม. หรือ ครน. คงเป็นเรื่องง่ายๆสำหรับน้องๆครับ
จำนวนประกอบเฉพาะ
จำนวนประกอบเฉพาะ หาได้จากจำนวนเฉพาะตัวที่คูณกัน เพื่อสร้างเป็น
จำนวนขึ้นมา เช่น หาจำนวนประกอบเฉพาะของ 12
12 = 2 x 6 แต่ 6 = 2 x 3 ดังนั้น 12 = 2 x 2 x 3 ซึ่ง 3 เป็นจำนวนเฉพาะที่
แยกไม่ได้อีกแล้ว
ดังนั้นเราจึงได้ว่า 12 = 2 x 2 x 3 ซึ่งเราเห็นได้ว่า ตัวประกอบทุกตัวเป็น
จำนวนเฉพาะ ดังนั้น 12 คือจำนวนประกอบเฉพาะ และ 2 กับ 3 เป็นตัว
ประกอบเฉพาะ
ในทำนองเดียวกัน 12 = 2 x 2 x 3 สามารถเขียนในรูปยกกำลังคือ
12 = 2^2 x 3 (อ่านว่า 12 เท่ากับ 2 ยกกำลัง2 คูณด้วย 3)
จำนวนประกอบถูกสร้างขึ้นมาากจำนวนเฉพาะ
นั่นคือจำนวนประกอบเฉพาะ คือจำนวนประกอบที่ถูกสร้างขึ้นมาจากจำนวนเฉพาะเท่านั้น หรือ กลับกัน จำนวนประกอบเฉพาะ คือจำนวนประกอบที่มี จำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบ
แล้วจำนวนประกอบเฉพาะของ 147?
จำนวน 147 ÷ 2 = 73 ½ ซึ่งไม่ใช่ตัวประกอบ เพราะตัวประกอบต้องเป็น
จำนวนเต็ม ดังนั้น 73 ½ จึงไม่ใช่จำนวนประกอบ
งั้นลองใหม่ ลองหารด้วย 3 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ 147 ÷ 3 = 49
เราจะมาลองแยกตัวประกอบของ 49 ดู จำนวนเฉพาะตัวต่อไปคือ 5
อ้าว ทำไมไม่เริ่มจาก 3 ล่ะครับ คำตอบคือ เราเริ่มต้นจาก 3 ไปแล้ว ซึ่งได้ตัวเลขคำตอบจากการหารด้วย 3 คือ 49 ดังนั้นเราหารด้วย 3 ต่อก็ไม่ได้จำนวนเต็มแล้วจึงลองจำนวนเฉพาะตัวต่อไปคือ 5
คราวนี้น้องๆลองดูว่า 49 ÷ 5 ลงตัวหรือไม่ ..... ถ้าดูผ่านๆ ตัวเลขใดหาร ด้วย5 แล้วลงตัว ตัวเลขนั้นต้องลงท้ายด้วย 0 หรือ 5
แต่ 49 ลงท้ายด้วย 9 แสดงว่า ไม่ลงตัวแน่ๆ ดังนั้นลองตัวต่อไปคือ 7 ซึ่งเราท่องสูตรคูณกันบ่อยๆ 7 x 7 ได้ 49 นั่นคือ 49 ÷ 7 = 7
ดังนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบด้วยจำนวนเฉพาะสำเร็จแล้ว
นั่นคือ 147 = 3 x 7 x 7 หรือเขียนว่า 147 = 3 x 7 x 7
แล้วเราจะแยกตัวประกอบเฉพาะของ 17 ได้หรือไม่ ตอบว่าไม่ได้ครับ เพราะ 17 เป็นจำนวนเฉพาะ
ในบางครั้งเราสามารถแยกตัวประกอบเฉพาะจากจำนวนที่ถูกแบ่งเป็นจำนวนย่อยมาก่อน เช่น เราจะหาตัวประกอบเฉพาะของ 90 เราใช้การแตก 90 เป็น 2 ส่วนคือ 90 = 9 x 10 จากนั้นแล้วแยกหาตัวประกอบเฉพาะเป็นส่วนๆคือ
- เพราะว่า 9 = 3 x 3 ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะของ 9 = 3 และ 3
- เพราะว่า 10 = 2 x 5 ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะของ 10 = 2 และ 5
นั่นคือ ตัวประกอบเฉพาะของ 90 คือ 2, 3, 3, 5
แยกตัวประกอบเฉพาะออกมาเป็นจำนวนใหญ่ก่อนแล้วแยกย่อยลงไปอีก
เป็นวิธีที่แยกตัวประกอบจากจำนวนใหญ่มาเป็นจำนวนที่เล็กกว่าแล้วแยกตัวประกอบให้เล็กลงไปเรื่อยๆอีก เช่น ตัวเลข 90 = 9 x 10 = (3x3) x (2x5) ดังนั้นตัวประกอบเฉพาะของ 90 = 3, 3, 2, 5
แยกตัวประกอบเฉพาะออกเป็นเส้นสาขา
แยกตัวประกอบเฉพาะออกเป็นเส้นสาขา
ความเป็นเอกลักษณ์ของตัวประกอบเฉพาะ
ในแต่ละจำนวนสามารถแยกตัวประกอบเฉพาะได้เพียงเซตเดียวเท่านั้นเช่น ตัวประกอบเฉพาะของ 330 คือ 2, 3, 5, 11 ซึ่งไม่สามารถมีเซตของตัวประกอบเฉพาะอื่น ที่สามารถแยกจากเลข 330 ได้ หรือ ไม่มีตัวประกอบเฉพาะจากเซตอื่นที่นำมาคูณเพื่อสร้างเป็นเลข 330 ได้นั่นเอง
และนี่คือทฤษฎีหลักมูลทางเลขคณิตที่พี่เคยเล่าให้น้องๆอ่านไปแล้ว
จบตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย (ตอนที่ 3) พรุ่งนี้ขึ้นตอนที่ 4 ครับ
- 1
ดูเพิ่มเติมในซีรีส์
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
