ระบบจำนวนเต็ม (ตอนที่ 2)
เรามีจำนวนที่แตกต่างกันออกไปตามคำจำกัดความ
ซึ่งสรุปได้ดังภาพข้างล่าง
ประเภทของจำนวนที่เราเห็นกันบ่อบ
เรื่องของ”จำนวน” เป็นหัวข้อแรกๆของคณิตศาสตร์ที่จำเป็นต้องพูดถึง
สิ่งแรกที่ต้องมีการถามกันไม่ว่าจะอยู่ในห้องเรียนหรือก่อนเข้าห้องเรียน
ก็คือ จำนวนคืออะไร? คำตอบที่มักจะได้ยินก็คือ
ปริมาณทางคณิตศาสตร์ที่แสดงให้เห็นว่ามีมากหรือน้อย
โดยมีสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่บอกถึงขนาดของจำนวนนั้น
มนุษย์คิดค้นขึ้นมาเป็นตัวๆ โดยเรียกรวมๆกันว่า “ตัวเลข” คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และหากเรียกตัวใดตัวหนึ่ง ก็เรียกว่าเลขโดด
ซึ่งสัญลักษณ์ตามที่ยกตัวอย่าง เรียกว่า “ตัวเลขฮินดูอารบิก”
ส่วนของไทยเราก็มีการประดิษฐ์ ตัวเลขขึ้นมาคือ
๐, ๑, ๒, ๓, ๔, ๕, ๖, ๗, ๘, ๙ ในทางคณิตศาสตร์นิยมใช้
ตัวเลขฮินดูอารบิก เพื่อเป็นสากล คือรู้เรื่องกันทุกประเทศ
ดังนั้นหากจะพูดกันให้สั้นๆแล้ว “จำนวน” คือ
“อะไรบางอย่างที่เราใช้นับ”
วิวัฒนาการของจำนวน
มนุษย์รู้จัก “การนับ” คน สัตว์ สิ่งของ มานานแล้ว
ดังนั้นมนุษย์ย่อมรู้จัก “จำนวนนับ” มาตั้งแต่ยุคนั้น เช่นเรานับ
ส้ม 3 ลูก วัว 5 ตัว แสดงว่าจำนวนนับของเรา
คงจะเริ่มตั้งแต่ 1, 2, 3, 4, 5, …..
คราวนี้ หากเรานับ วัวได้ 5 ตัว จากนั้น วัวมันเดินหนีไปหมด
เราควรจะนับวัวได้เลขอะไร บางคนบอกว่า 0 ซิครับ
เพราะ 0 แปลว่า มันไม่มี แต่บางคนบอกว่า 0 มันนับไม่ได้
เพราะมันไม่มี วัว ให้นับ ดังนั้นจะถือว่าเป็นจำนวนนับได้อย่างไร .....
เอาละซิยุ่งแล้ว!
ถ้างั้นก็ต้องมาเริ่มต้นกันใหม่ว่าเราจะเรียกจำนวนแบบไหน
ว่าเป็นชื่ออะไร พร้อมต้องนิยาม (ให้คำจำกัดความ) ด้วย
นอกจากนี้ เราสังเกตได้ว่าจำนวนที่เราจะนับ ต่างเป็นจำนวนเต็มทั้งหมด
ต้องไม่มีเศษส่วน ต้องไม่มีเลขยกกำลัง ต้องเป็นจำนวนที่หาค่าได้
สำหรับในกรณีนี้คือต้องเป็นเลขที่นับได้
สำหรับกรณีอื่นค่อยคุยกันภายหลัง ถ้าหากเป็นอย่างนี้
เราต้องนิยามจำนวนนับกันใหม่ให้ชัดเจน
นิยามของจำนวนเต็ม
จำนวนที่ต้องนิยาม (ข้อตกลง) ก่อนเลยก็คือ “จำนวนเต็ม”
หรือ “Integer” อ่านว่า อินทิเจอร์ หมายถึงจำนวนที่ไม่เป็นเศษส่วน
หรือนำกลับมาเขียนใหม่ให้เป็นเศษส่วนได้
(ทศนิยม เขียนกลับมาเป็นเศษส่วนได้ จึงมิใช่จำนวนเต็ม)
นอกจากนี้ต้องสามารถนับได้ คือหาค่าได้ (เลขบางชนิดหาค่า
ที่แท้จริงไม่ได้)
เส้นจำนวนของจำนวนจริง
เอาล่ะ คราวนี้เราจะมาคุยกันถึงจำนวนนับกัน
จำนวนนับ (Counting Numbers) คือจำนวนเต็ม (Integer)
ที่มากกว่า “0” เขียนอยู่ในรูปของ เซตคือ
จำนวนนับ : { 1, 2, 3, …..} และมีเส้นจำนวนดังรูปนี้
เส้นจำนวนของจำนวนนับ
“0” (Zero) (อ่านว่า ซีโร่) อย่างที่ได้ยกตัวอย่างข้างต้น มีวัว 5 ตัว
เรานับได้ แต่เมื่อวัวเดินหายไปหมดแล้ว เราก็นับวัวไม่ได้
เพราะเราไม่สามารถนับทุ่งเปล่ารวมเข้ากับการนับจำนวนวัว
ดังนั้นจึงต้องกำหนดเลข “0” ขึ้นมาโดยมีความหมายว่า
“ไม่มีสิ่งที่จะให้นับ” เช่น น้องมีส้ม 2 ผล ทานไปแล้ว 2 ผล
ดังนั้นน้องเหลือส้ม 0 ผล ….!
จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (Whole Numbers)
เมื่อเรารู้จักจำนวนเต็มตามตัวอย่างแล้วก็มีข้อสงสัยต่อไปว่า
แล้วจำนวนเต็มเป็นบวกได้อย่างเดียวหรือปล่าว
เป็นลบได้ไหม คำถามนี้หากกลับไปดูนิยามของจำนวนเต็ม
ที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ก็ไม่มีข้อห้าม
นั่นคือจำนวนนับที่รวม “0” ด้วย เขียนอยู่ในรูปของ
เซตคือ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ : {0, 1, 2, 3, …..}
จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
จำนวนธรรมชาติ (Natural Numbers)
สามารถเป็นได้ทั้ง “จำนวนนับ” { 1, 2, 3, …..}
และจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ {0, 1, 2, 3, …..}
อันนี้ดูแล้วแปลกๆครับ เพราะมันเป็นทั้ง จำนวนนับ
และเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
พี่เข้าใจ (เอาเอง) ว่า ในยุคที่ผ่านๆมาอาจมีความเห็นที่
ขัดแย้งกันในเรื่องของ “0” ที่บางคนบอกว่า “0”
คือมีจำนวน 0 ชิ้น แต่บางคนบอกว่า 0 มันนับไม่ได้
ดังนั้น “0” จึงไม่ถือเป็นจำนวน ตามที่ได้ยกตัวอย่างข้างต้น
ดังนั้นเพื่อให้เกิดข้อยุติ จึงได้มีการนิยาม “จำนวนธรรมชาติ”
ขึ้นมา โดยมีเซตของจำนวนธรรมชาติ = {0, 1, 2, 3, ...}
จำนวนเต็ม (Integer) เหมือนกับจำนวนนับ แต่มีเลขที่เป็น
จำนวนเต็มลบด้วย แต่จำนวนเต็มต้องไม่เป็นเศษส่วน
หรือต้องไม่สามารถเขียนกลับมาเป็นเศษส่วนได้
ดังนั้น จำนวนเต็มสามารถเป็น จำนวนลบ {-1, -2, -3,-4,…} ,
จำนวนบวก {1, 2, 3, 4, ….}หรือ ศูนย์ {0} ได้
ทำให้เชียนในรูปของ เซต ได้ดังนี้
จำนวนเต็ม = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
สิ่งหนึ่งของเส้นจำนวนที่ต้องไม่ลืมก็คือ ปลายลูกศรด้านซ้าย
ของเส้นจำนวน ไปสิ้นสุดที่ -∞ ส่วนด้านขวาสิ้นสุดที่ +∞
นั่นคือ จากรูปเส้นจำนวน ซึ่งเขียนเพียง -10 แต่รวมถึง -11, -12 …
ไปจนถึง -∞ ในทำนองเดียวกันกับทางด้านขวา
ซึ่งเป็นด้านบวก ก็จะรวมถึง 11, 12 … ไปจนถึง +∞
เหตุที่ต้อง “ละไว้ในฐานที่เข้าใจ” ก็เพราะเราไม่สามารถเขียน
เลขทุกจำนวน จาก 0 ถึง ∞ ได้
ตัวอย่าง เลข −13, −7, 0, 1, 128 เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด
แต่ 1/5, 4.7, 3.14 ไม่ใช่จำนวนเต็ม
ตำแหน่งของจำนวนบนเส้นจำนวน
ถึงตอนนี้น้องๆ รู้จักกับจำนวนเต็มแล้ว รวมทั้งจำนวนอื่นๆ
ที่เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนเต็มด้วย
ขอต่อ ระบบจำนวนเต็ม (ตอนที่ 3) พรุ่งนี้ครับ
- 5
ดูเพิ่มเติมในซีรีส์
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
