สมการเชิงเส้น (ตอนที่ 1)
เรามาทำความรู้จักกับสมการเชิงเส้นกันก่อนครับ
สมการเชิงเส้นก็เหมือนกับสมการอื่นๆ ทั่วไป ซึ่งสร้างขึ้นมาจาก 2 นิพจน์ที่เท่ากันสมการเชิงเส้นมีความพิเศษกว่าสมการปกติคือ
➨ มี 1 หรือ 2 ตัวแปร
กรณีที่มีตัวแปรเดียว อยู่ในรูปของ ax + b = 0
เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ, x เป็นตัวแปร
ตัวอย่างเช่น 2x + 5 = 0, 3x – 8 = 7 เป็นต้น
เราเรียกว่า เป็นรูปแบบมาตรฐานของสมการเชิงเส้น
(standard form of a linear equation)
สำหรับกรณีที่มี 2 ตัวแปร เช่น y = mx + b เรากำลังจะคุยกันในคราวนี้ครับ
ข้อสังเกต y = mx + b เราเขียนสลับข้างจะได้ว่า
mx + b = y
ถ้า y = 0 เราจึงได้ว่า mx + b = 0 ซึ่งเป็นรูปแบบเดียวกับ ax + b = 0 ของสมการเชิงเส้น ตัวแปรเดียว !
พี่ขอไปคุยเพิ่มเติมในเรื่องสมการ 1 หรือ 2 ตัวแปร ในตอนท้ายครับ
➨ ไม่มีตัวแปรใดในสมการเชิงเส้นที่ยกกำลังมากกว่า 1
และไม่ใช้ตัวแปรเป็น “ส่วน" ของจำนวนเศษส่วน
➨ เมื่อหาค่าของตัวแปรในสมการได้แล้วจะได้
คู่อันดับของตัวแปรที่ทำให้นิพจน์ทั้งสองเท่ากัน
คำตอบต้องเป็นจริงเมื่อแทนค่ากลับในสมการ
นอกจากนี้คู่อันดับยังสามารถนำกลับมา Plot กราฟ (เขียน กราฟ)ในพิกัดฉาก (Coordinate System)ได้ โดยคู่อันดับดังกล่าวให้ค่า“จุด”ที่ต่อเนื่องเป็น“เส้น”ของสมการ
➨ สมการเชิงเส้น (Linear Equation) ทำให้เกิดกราฟเป็นเส้นตรงในทำนองเดียวกันเส้นตรงต้องเขียนในรูปของสมการเชิงเส้นได้
นั่นคือ เส้นตรง ที่สามารถเขียนในรูปของสมการได้ เรียกว่า “สมการเชิงเส้น”ลองดูรูปตัวอย่างของเส้นตรงและสมการเชิงเส้นครับ
กราฟ และ สมการของเส้นตรง
ความหมายของสมการ
ในทางคณิตศาสตร์ สมการหมายถึงประโยคที่แสดงว่า สองสิ่งเท่ากัน หรือ เหมือนกัน โดยมีเครื่องหมาย = (เท่ากับ) เป็นสัญลักษณ์ที่แสดงความเท่ากัน
ข้อความข้างต้นมีความสำคัญนะครับถ้าสองสิ่งไม่เท่ากันหรือไม่เหมือนกันเราจะไม่ใช้ เครื่องหมาย = (เท่ากับ) ระหว่างสองสิ่งที่ไม่เท่ากันหรือไม่เหมือนอย่างเด็ดขาด
เพราะไม่ใช่สมการแต่เรียกว่า “อสมการ”
ลองดูตัวอย่างครับ
3 + 4 = 12, 7 – 4 = 3, x + 1 = 5 เป็นต้น
สมการมีตัวแปรเพื่อหาค่า เช่น x + 1 = 5
ดังนั้น x = 5 -1 แล้ว x = 4 นี่คือการแก้สมการ
แต่ x + 5 = x อย่างนี้ไม่ใช่สมการเพราะไม่เป็นจริง! และเราไม่เรียกว่า “สมการที่หาค่าไม่ได้” เนื่องจาก x +5 = x มิได้เป็นไปตามความหมายหรือนิยามของคำว่า “สมการ” ซึ่ง x + 5 = x เป็นเพียงประโยคที่พูดกันเท่านั้นและเราไม่ได้นำมาใช้ในทางคณิตศาสตร์
การแก้สมการหรือการหาคำตอบของสมการ
ตัวอย่าง x + 1 = 5 ----> x = 5 – 1 = 4
ซึ่งเหมือนกับเป็นการย้ายข้างแล้วกลับเครื่องหมาย
ในทางคณิตศาสตร์ เราไม่มีการย้ายข้างครับ แต่เรามีบวก หรือ ลบ หรือ คูณ หรือหารทั้งสองด้าน
ดูตัวอย่างครับ
จาก x + 1 = 5 นำ 1 ลบ ทั้งสองด้านจะได้ว่า
x + 1 -1 = 5- 1
x = 4
เราเห็นได้ว่า สองสิ่งที่อยู่ด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากัน และเป็นจริงเนื่องจาก เราสามารถนำคำตอบ คือ 4 มาแทนที่ x ในโจทย์แล้ว เป็นจริง
จาก x + 1 = 5
เราแทน x = 4 ซึ่งเราหาคำตอบมาจากข้างต้น จะได้ว่า
4 + 1 = 5 และ 5 = 5 เป็นความจริง
ประโยคนี้เป็นสมการตามความหมายข้างต้นครับ
คำตอบของสมการ
คำตอบของสมการคือค่าที่เมื่อเราแทนในตัวแปร (อย่างเช่น x )แล้วทำให้สมการเป็นจริง
ตัวอย่าง x - 2 = 4
เมื่อเราแทนค่า x ด้วย 6 แล้ว เราจะได้ 6 – 2 = 4 ซึ่งเป็นความจริง ดังนั้น x = 6 เป็นคำตอบของสมการ
x = 6 เป็นคำตอบของสมการ
แล้วค่าอื่นๆของ x ล่ะ?
➨ ถ้า x = 5 เราได้ “5 – 2 = 4” ซึ่งไม่เป็นจริง ดังนั้น x = 5 ไม่ใช่คำตอบของสมการ
➨ ถ้า x = 9 เราได้ “9 – 2 = 4” ซึ่งไม่เป็นจริง ดังนั้น x = 9 ไม่ใช่คำตอบของสมการ
ในกรณีนี้ x = 6 เป็นคำตอบเพียงคำตอบเดียว
x = 6 เป็นคำตอบเพียงคำตอบเดียวของสมการนี้
เรื่องของตัวแปรกับสมการเชิงเส้น
จากที่ได้คุยกันในตอนต้นไปบางส่วน ถึงเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวกับสมการเชิง เส้นสองตัวแปรซึ่งน้องๆสามารถแยกความแตกต่างได้แล้วเมื่อได้คุยกันจนมาถึงจุดนี้
สิ่งที่เป็นข้อสังเกตุที่พี่ขอสรุปก็คือ
สมการเชิงเส้น กับ กราฟบนพิกัดฉากต้องเป็นของคู่กัน อย่างน้อยก็ตอนที่คับขันในห้อง เรียน หรือ ห้องสอบซึ่งบางทีอาจช่วยปาดเหงื่อให้แก่น้องๆได้
พี่จะสรุปเป็นข้อๆ เพื่อสะดวกในการทำความเข้าใจดังนี้
กราฟบนพิกัดฉาก
➜ ทุกๆจุดบนแกน y ไม่มีค่าของ x และ
ทุกๆจุดบนแกน x ไม่มีค่าของ y
ซึ่งคำว่า“ไม่มีอยู่” แปลว่า “เป็น 0" ครับคือ
ทุกจุดบนแกน y, x = 0 และ
ทุกจุดบนแกน x, y = 0
➜ แกน y ตั้งฉากกับแกน x ดังนั้น เราจึงเรียกว่า “พิกัดฉาก”
จุดที่แกน y ตัดกับแกน x อยู่ที่พิกัด (0, 0) หมายความว่า
ที่จุดตัดกัน และ ตั้งฉากกันนี้ คือตำแหน่งที่
x = 0, y = 0
จากที่เราได้คุยกัน
สมการเส้นตรงคือ y = mx + b ซึ่งน้องๆรู้จัก ส่วนประกอบของสมการแต่ละตัวว่า เราเรียก อะไรบ้าง และเนื่องจาก x และ y เป็นตัวแปรของสมการเชิงเส้น ดังนั้นเราเลยเรียกว่า “สมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร"
ถ้ามีแค่ x หรือ y เพียงลำพังในสมการเชิงเส้น เราเรียกว่า “สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว”
หากถ้ามีสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร และ มีมากกว่า 1 สมการที่ไม่เท่ากันเราเรียกว่า “ระบบสมการเชิงเส้น (system of linear equations)” ซึ่งเราจะต้องหาคำตอบที่ยุ่งยากและคงต้องไปเรียนในชั้นที่สูงกว่านี้ครับ
สำหรับกรณีที่เราพูดถึงเป็นสมการที่มี 2 ตัวแปร แต่มีสมการเดียว พี่ขอเลี่ยงไปเรียก y = mx + b ว่าสมการเส้นตรง น่าจะเหมาะสำหรับน้องๆในตอนนี้
เอาล่ะครับเข้าเรื่องของก่อนดีกว่า
เริ่มต้นที่สมการ y = mx + b ซึ่งเพิ่งผ่านการคุยกันมา เรารู้ว่า “b คือ ค่าที่สมการตัดแกน y ที่ x = 0” ซึ่งจากที่คุยกันข้างบน “ไม่มีค่าของ x บนแกน y”
ดังนั้นที่กราฟมาตัดแกน y ย่อมไม่มีค่าของ x (ค่า x เท่ากับ 0)
เพราะอะไรครับ?
จาก y = mx + b ถ้า x = 0 ล่ะ เกิดอะไรขึ้นมา ..... ก็มาดิครับ .....
y = 0 + b = b นั่นคือ y = b
เมื่อ y = b แล้ว y จึงกลายเป็นตัวคงที่ เพราะ b เป็นตัวคงที่ ส่วน x = 0 เห็นได้ชัดเจนว่า x เป็นตัวคงที่ ดังนั้น สมการนี้ไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ และมีสภาพเป็นจุด ซึ่งเป็นนิยามของจุดที่มีเพียงตำแหน่ง(พิกัด)ไม่มีปริมาณ และไม่มีขนาด อยู่ที่ พิกัด (x, y) หรือ (0, b)
ดังนั้น ถ้า x = 0 สมการนี้มิใช่สมการเส้นตรง แต่เป็นสมการของ จุด อยู่ที่พิกัด (0, b)
ถ้า x = 0 แล้ว y = b สมการนี้กลายเป็นสมการของจุด อยู่ที่ (0, b)
ถ้า b = 0 แล้ว y = mx + 0 ซึ่งทำให้กราฟของสมการนี้เป็นเส้นตรงผ่านจุด (0, 0)
ถ้า y = 0 แล้ว แสดงว่า y เป็นตัวคงที่ และเนื่องจาก b คือค่าของ y ที่ตำแหน่ง x = 0
ดังนั้น b = 0 ด้วย เมื่อ y = 0
ต่อมาดูความชัน (m)
ความชัน (m) = 0 / x = 0
(เพราะว่า y = 0 เป็นตัวคงที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงของ y)
ดังนั้น ความชัน (m) = 0 เป็นผลให้ เทอม mx = 0 ด้วย
นั่นคือสมการที่ y = 0 ให้กราฟเป็นจุด ที่พิกัด (0, 0)
มาถึงจุดนี้ น้องๆคงเริ่มมองภาพของสมการเชิงเส้นได้อย่างมั่นใจมากขึ้นนะครับ
ขอต่อ สมการเชิงเส้น (ตอนที่ 2) ในตอนต่อไปครับ
- 8
ดูเพิ่มเติมในซีรีส์
โฆษณา
- ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน
- © 2024 Blockdit
